segunda-feira, 18 de abril de 2011

As Três Leis de Newton

Desde pequeno, eu sempre adorei ler textos sobre a história da ciência. Quando criança eu lia a Superinteressante, na época em que era boa, e mais recentemente eu lia os bons livros de divulgação, como o Drunkard's Walk do Mlodinow. Mas, em algum ponto no ano passado, caiu uma ficha aqui. Por que eu estava lendo informação de segunda mão sobre probabilidade, se podia ler diretamente os originais do Laplace?

O maior problema em ler textos originais é a língua. Afinal, o Laplace escrevia em francês, o Euclides em grego, o Einstein em alemão, e eu não domino nenhuma dessas línguas. A boa notícia é que praticamente todos os textos científicos relevantes já foram traduzidos para o inglês em algum ponto. A má notícia é que muitas vezes esses textos estão fora de catálogo e nunca foram digitalizados.

Mas como tipicamente acontece comigo, curiosidade se mistura com obsessão, e lá fui eu fui fazer arqueologia nos sebos da Califórnia, conseguindo no final uma lista bem considerável de textos originais! (Pra quem estiver curioso, eu coloquei online a lista com os textos que já consegui.)


Para dar um gostinho de como é divertido ler os originais, eu resolvi traduzir um trecho sobre um tema que todo mundo já viu no colégio: as Três Leis de Newton, tais como enunciadas em 1687. Mas antes de falar das leis em si, vale a pena falar um pouco sobre o livro em que elas aparecem, o Principia.

Ler o Principia é bastante diferente de ler um livro atual sobre Física. Em especial, tem duas diferenças que são bem gritantes. A primeira é que o Principia não tem equações. Nenhuma, nenhuma. Todos os cálculos são feitos com desenho geométrico.

Se você parar pra pensar, nem é tão diferente do que a gente faz normalmente. Antes de montar as equações em um problema de Física, você usualmente vai desenhar os vetores com as forças; o Newton simplesmente desenhava os vetores em escala e usava geometria para resolver o problema.

O motivo para usar desenho geométrico ao invés de equações só ele sabia; mas dado que ele era fã dos Elementos de Euclides, pode-se supor que ele queria deixar o Principia mais parecido com os tratados gregos.

A segunda diferença do Principia para os livros atuais é que ele não tem citações. Nas raras vezes que o Newton cita algum outro cientista, é sempre um cientista que já tinha morrido, como o Aristóteles ou o Galileu; e nunca um contemporâneo como o Leibniz ou o Hooke.

O motivo, claro, era para não dividir os créditos das descobertas com ninguém. Na esfera pessoal, não há dúvidas de que o Newton era um pilantra (mas, por outro lado, ele era o pilantra mais inteligente de sua época, o que faz dele uma espécie de Lex Luthor do século XVII).

Isaac Newton sonegou mais de 40 citações. E isso é terrível.

O Principia originalmente era dividido em três livros, mas para fins de exposição eu acho mais fácil dividi-lo nas seções abaixo. Preste atenção na ordem delas, porque tem uma pegadinha mais tarde:

1. Préfacios e Introduções
2. Definições
3. Axiomas, ou as Leis do Movimento
4. Introdução ao Cálculo
5. O Movimento dos Corpos
6. O Sistema do Mundo
7. Conclusão

A minha cópia do Principia é uma tradução recente, feita em 1999. Mas se você quiser acompanhar sem gastar dinheiro, no Google Books tem o scan da primeira edição em latim, e da primeira tradução para o inglês, feita em 1729 (se a fonte parecer esquisita demais, note que aquele símbolo que parece uma integral na verdade é um S longo).

Eu poderia falar horas sobre o Principia, mas já que o objetivo é mostrar as três leis eu vou cobrir só duas seções: as definições e os axiomas.

Definições

Um problema que o Newton tinha era evitar a ambigüidade que alguns termos de uso comum possuem. Espaço, tempo, reta, plano, essas coisas são todas bem definidas. Mas não havia um conceito correto para medir matéria e movimento.

Informalmente, media-se matéria através do peso, e movimento a partir da velocidade, mas o Newton sacou que essas medidas não são as melhores possíveis. Por isso, ele apresenta dois conceitos novos que serão mais úteis. (Tudo que estiver na caixa azul é texto traduzido do Principia):

Quantidade de matéria é uma medida da matéria que surge conjuntamente da sua densidade e de seu volume.

Se a densidade do ar dobrar em um espaço que também dobra, então existe quatro vezes mais ar, e seis vezes mais ar se o espaço triplicar. O caso é o mesmo tanto para neve e pó condensado por compressão ou liquefação, como para quaisquer outros corpos condensados de qualquer maneira por qualquer método. Por enquanto, eu não estou levando em conta o meio, se existir algum, que penetra pelos interstícios entre as partes do corpo. Além disso, eu sempre tenho essa quantidade em mente quando usar o termo "corpo" ou "massa" daqui em diante. Ela sempre pode ser deduzida a partir do peso de um corpo (por exemplo, fazendo experimentos precisos com pêndulos), e eu descobri que ela é sempre proporcional ao peso.

Nessa definição, o Newton apresenta pela primeira vez o conceito de massa. Ele já sabia que peso não é uma boa medida da matéria, afinal, ele muda de acordo com o ponto em que você está (Newton sabia que um corpo em Paris tinha um peso levemente diferente do que teria se estivesse em Londres). Além disso, faz sentido falar do peso da Lua ou de Júpiter?

Note também como o Newton apresenta suas equações de modo implícito. Primeiro ele fala que a massa é uma função da densidade e do volume, mas não fala que função é essa. Depois, pelos exemplos, fica claro que a função é uma multiplicação, então massa é igual a densidade vezes volume.

Quantidade de movimento é uma medida do movimento que surge conjuntamente da velocidade e da quantidade de matéria.

O movimento como um todo é a soma dos movimentos das partes individuais, e, portanto, se um corpo é duas vezes maior que outro, mas tem a mesma velocidade, então há duas vezes mais movimento; e se há o dobro da velocidade, então há quatro vezes o movimento.

É mais difícil empurrar um caminhão a 10km/h que uma bicicleta, por isso o Newton sacou que o movimento não é simplesmente a velocidade, mas sim a velocidade vezes a massa. Em terminologia moderna, o Newton nesse trecho está definindo o momento.

Axiomas, ou as Leis do Movimento

Esse é o trecho que interessa, onde ele define as três leis. Novamente, o formato é baseado nos Elementos de Euclides, você começa o livro com os axiomas e depois deriva todo o resto a partir deles.

Primeira lei: Todo corpo persevera em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme e retilíneo, exceto se for compelido a mudar de estado por forças aplicadas.

Projéteis perseveram em seus movimentos, exceto se forem retardados pela resistência do ar, e impelidos para baixo pela força da gravidade. Um pião, que possui partes que impedem umas às outras de realizar movimento retilíneos por razão de sua coesão, não deixa de rodar, exceto se for retardado pelo ar. E corpos maiores, como planetas e cometas, preservam por mais tempo seus movimentos progressivos e circulares, pois eles acontecem em espaços com menor resistência.

A parte curiosa dessa explicação é que ele cria uma lei sobre movimento retílineo, mas todos os exemplos envolvem movimentos curvos :) Não sei se a parte do pião que gira é clara, o que ele quis dizer é que cada partícula individual do pião tem a tendência de sair pela tangente, e só não faz isso porque as partículas estão grudadas entre si.

Mas eu acho que a primeira lei, enquanto axioma, não é das melhores. O que essa lei diz é que, na ausência de forças, a velocidade não muda, ou seja, na ausência de forças, a aceleração é zero. Mas você não precisava de uma lei só pra isso, porque a segunda lei já vai dizer que F=ma. Se a massa é positiva e a força é zero, então a aceleração vai ser zero. A primeira lei é redundante.

Segunda lei: Uma mudança no movimento é proporcional à força motriz aplicada, e tem lugar na mesma linha reta em que a força é aplicada.

Se alguma força gera qualquer movimento, então o dobro da força gera o dobro do movimento, e o triplo da força gera o triplo do movimento, não importando se a força é aplicada de uma só vez ou sucessivamente em passos. E se o corpo já estava se movendo previamente, o novo movimento (já que o movimento é sempre na mesma direção da força motriz) é adicionado ao movimento original se ele está mesma direção, ou subtraído do movimento original se estiver na direção oposta, ou, se for numa direção oblíqua, é combinado obliquamente e composto de acordo com as direções de ambos os movimentos.

Na época de faculdade a gente sempre pregava peça nos calouros. A conversa começava com "Ei bixo, qual é a segunda lei de Newton?". O calouro respondia que era F=ma e aí você sacaneava ele: "Claro que não, F=ma só vale se a massa for constante! O que o Newton disse é que a força é a derivada do momento, e como momento é massa vezes velocidade, então a equação correta é assim:


Se você projetar um avião usando só F=ma, ele vai cair, porque você não levou em conta que ele perde massa enquanto queima o combustível!"

Esse argumento é bom pra sacanear calouro, mas é incorreto. O Newton nunca falou que a força é a derivada do momento. Lembra que eu disse que tinha uma pegadinha na ordem dos capítulos? Nesse capítulo o Newton não poderia ter falado isso, porque ele mostra o Cálculo pela primeira vez só no capítulo seguinte, e portanto não tem como definir força como sendo uma "derivada".

Na verdade, a segunda lei de Newton tal como está no Principia se aplica ao caso discreto, para diferenças de movimentos e não para as suas derivadas. O que engana aqui é o jargão: aquilo que o Newton chama de força não é o mesmo que nós chamamos de força. Ao invés disso, esse conceito apresentado na segunda lei é o que modernamente conhecemos como Impulso. Ou seja, a verdadeira segunda lei é:


Isso fica claro no trecho "não importando se a força é aplicada de uma só vez ou sucessivamente em passos", claramente ele está falando de uma aplicação impulsiva ao invés de uma aplicação contínua. Naturalmente, se você dividir dos dois lados por Δt e tomar o limite quando Δt tende a zero, você chega na definição que todo mundo conhece.

Mas eu acho que a segunda lei, enquanto axioma, não é das melhores. Imagine que eu quero medir o quão cansado eu fico ao empurrar um objeto. Eu fico mais cansado quando o objeto é pesado, e mesmo se o objeto for leve, eu fico cansado se o empurrar por muito tempo. Por isso, eu decido definir Cansaço como sendo o produto da massa pelo tempo: C=mΔt.

Mas tipo, e daí? Só porque eu dei um nome para um produto qualquer não quer dizer que isso seja uma lei da natureza. Da mesma maneira, só porque o Newton multiplicou aceleração por massa e chamou isso de força, não quer dizer que esse produto seja importante. A segunda lei não é uma lei propriamente dita: é só uma definição, e uma definição só faz sentido se tiver alguma propriedade que a acompanhe.

Terceira lei: Para cada ação, existe reação igual e oposta; em outras palavras, as ações de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e sempre opostas em direção.

Qualquer coisa que puxe ou empurre outra coisa, é igualmente puxado ou empurrado por ela. Se alguém aperta uma pedra com o dedo, o dedo também é apertado pela pedra. Se um cavalo puxa uma pedra amarrada por uma corda, o cavalo também será (por assim dizer) puxado igualmente na direção da pedra, já que a corda, esticada nas duas pontas, puxará o cavalo para a pedra e a pedra para o cavalo, no mesmo processo promovendo o movimento de um e impedindo o movimento do outro. Se um corpo, colidindo com outro corpo, muda a direção do segundo em razão de sua própria força, então, pela força do outro corpo (já que a pressão mútua é igual), também mudará seu movimento na direção oposta. Por meio dessas ações, mudanças iguais ocorrem no movimento, mas não na velocidade, exceto, é claro, se os corpos não forem impedidos por nada além. Por isso, mudanças na velocidade que ocorrem em direções opostas são inversamente proporcionais aos corpos, já que os movimentos são trocados igualmente. Essa lei também é válida para atrações.

Ahá, agora sim! A definição de força faz sentido porque força tem uma propriedade importante: ela é uma interação entre dois corpos que aparece em pares de igual intensidade e direções opostas. Nesse trecho eu também acho bacana os exemplos com pedras, cordas e cavalos: esse é um livro escrito em 1687, então cavalos eram muito mais comuns no dia-a-dia das pessoas que hoje em dia.

Mas eu acho que a terceira lei, enquanto axioma, não é das melhores. Imagine que você está em um carro que dá uma freada brusca. Você é acelerado para a frente, e se você multiplicar essa aceleração pela sua massa, descobre a força que te empurrou. Agora, onde está a reação dessa força, hein? hein?

A resposta é que essa força não tem reação. A terceira lei de Newton não funciona sempre, ela só funciona no caso especial em que o referencial não é acelerado. Essa força que você mediu é chamada de força inercial, ela não tem reação e só aparece em referenciais acelerados. Tem quem chame a força inercial de força fictícia, mas eu não gosto dessa nomenclatura: tente andar num carro sem cinto de segurança para ver o estrago fictício que o vidro vai fazer na sua cabeça!



"Mas peraí Ricbit, você não gosta de nenhuma das três leis!". Verdade, mas é porque dá pra fazer coisa melhor. Apresento a vocês a Lei Unificada de Newton:

Em um sistema isolado, o momento se conserva.

Pronto, uma única lei, bem mais simples que as anteriores, e você pode deduzir as três leis a partir dela. Na verdade, com esse enunciado você ainda ganha um monte de vantagens: ao contrário das três leis originais, essa versão funciona em referenciais não-inerciais, na relatividade especial e geral, e até na mecânica quântica!

Ler textos originais é um exercício muito divertido, mas para apreciar completamente você precisa se despojar do que aprendeu na escola. E a minha conclusão após ler bastante é que aprender é fácil, mas desaprender é muito mais difícil!

30 comentários:

  1. Finalmente!
    (Agora que postei posso ir ler)

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  2. Pena que na época não tinha este negócio de direito autoral para o Isaac Newton tomar um processo por não creditar os verdadeiros autores. :-P

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  3. Direito de autor não ia adiantar muito, porque a discussão era justamente sobre quem era o autor. O Newton, o Leibniz e o Hooke tiveram idéias similares ao mesmo tempo, e o Newton não citava de próposito, só pra poder ter algum argumento na hora de dizer que ele fez primeiro.

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  4. Ótimo post, é muito bom ver você falar de ciência.
    Mas esse blog tem um problema, um graaaaaande problema, algo vergonhoso, péssimo, passível de severas punições!


    E o problema é: a falta de atualizações! Acho que no fundo o RicBit é um sádico e fica pensando "Vou escrever um post sensacional e ficar sem atualizar o blog por alguns meses. MWAHAHAHAHAHAHAHA!"

    Terminando o comentário, eu já disse q o post ficou incrível?

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  5. 1) A-DO-REI a lembrança do Lex Luthor e dos 4 bolos. Belo desenho, Ila!

    2) O Newton era tipo um Edison para a época dele (no sentido de reservar descobertas e patentes para ele mesmo só para não compartilhar com pares) ? Pô, rolava um post só com cientistas cuzões, hein?

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  6. Você já leu In the Presence of the Creator? É uma pseudo biografia do Newton. Muito bom o livro.

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  7. Excelente post, Ricbit! Quando nós vamos para a Universidade, a verdade é nós apenas estudamos para passar... Só depois de formados, quando temos oportunidade é podemos voltar para refletir como calma sobre o que aprendemos. Este seu post me lembrou muito das "Lições de Física" do Richard Feynman, onde ele disseca as leis da Física de uma forma que os livros didáticos não fazem...
    Com relação ao caráter do Isaac Newton, ele fez pior do que sonegar referências... Ele perseguiu desafetos pessoais como o Hooke, promoveu uma campanha de desmoralização contra o Leibnitz na famosa "Guerra do Cálculo" e... era alquimista nas horas vagas !!!http://www.nytimes.com/2010/10/12/science/12newton.html?_r=1

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  8. Coincidentemente, eu estou lendo agora o "Surely You're Joking, Mr. Feynman". Ele era muito bom mesmo.

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  9. Já leu "Sobre Ombros de Gigantes", a compilação feita pelo Stephen Hawking?

    Nele dá pra perceber bastante sobre esse estilo de trazer conceitos matemáticos sem equações na forma que conhecemos hoje.

    Muito bacana outra publicação que aborda isso também é o livro "Introdução a história da matemática", do Howard Eves, que ilustra a evolução do simbolismo na matemática.

    Aliás, ótimo post

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  10. Eu achei essa compilação do Hawking meio pobre, tem poucos autores.

    O do Eves eu não vi ainda, vou procurar.

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  11. Muito termodinâmico da sua parte esta conclusão. Mas ótima linha de raciocínio...

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  12. É mto bom ler os artigos orginiais. Mas como um colega disse acima vc demora muito a escrever. Eu gosto da profundidade dos conceitos que vc aborda.

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  13. Acho que o Ricbit demora para escrever os posts justamente pela profundidade que ele aborda os assuntos. ;-)

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  14. Pô, Ricbit, tem que levar a época em consideração!

    A primeira lei é importante porque diz que as coisas não saem se movendo sozinhas.

    Naquela época, se você dissesse que lixo gera ratos, você teria seguidores. É importante dizer que as partículas se conservam como estão.

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  15. Uai, mas pra mim é justamente o contrário, a primeira lei diz que em um meio sem resistência um corpo com velocidade inicial não nula fica se movendo sozinho até alguém aplicar uma força nele.

    Por isso que eu gosto de equações, linguagem natural dá margem a todo tipo de ambiguidade.

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  16. Também acho que a primeira lei não é redundante, ela diz que a velocidade não muda por nenhuma outra razão que não seja a aplicação de uma força. Quando um objeto muda de direção, não é pq ele é feito de cobre, nem porque ele foi benzido.

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  17. 0. Obrigado! Estavamos precisando de um post, para acionar nossas "pequenas células cinzentas", como dizia o Poirot...

    1. Sensacional a redução das três leis a conservação do momento!

    2. Ler no original... vou tomar coragem um dia desses (ou um ano desses), pelo menos para o que estiver em inglês.

    3. Complementando o Luiz Felipe: acho que o Bit posta com menos frequencia, por que sabe que cada post desse dá pano pra mangas: a gente fica estudando um monte, pensando e digerindo muito, o que leva algum tempo mesmo. (*)

    Valeu, RicBit!

    (*) Diferente da leveza e arte do blog da Ila, que chamei lá de "biscoito fino", este blog aqui é uma "sopa de conhecimento", daquelas bem fortes e substanciosas! Yummie...

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  18. @Tiago Eu acho que a razão da primeira lei existir é histórica mesmo, o Descartes tinha uma lei igual e o Newton só seguiu o mesmo raciocínio. Veja:

    http://www.jstor.org/pss/227961

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  19. Aliás, um objeto de cobre pode se mover sozinho sim. Cobre é diamagnético, então se tiver um íma bem forte por perto o objeto de cobre vai ser repelido.

    Olha só, se o objeto se move quando você o empurra, é "força" de contato; se mover por causa de um íma é "força" eletromagnética; se mover por atração entre massas é "força" gravitacional, etc. Todos eles são fenômenos distintos, mas você chama todos de "força" porque eles causam mudança de movimento.

    Por isso a primeira lei é inútil. Ela fala que o objeto só muda de estado de movimento na presença de uma "força", mas depois diz que qualquer coisa que mude o movimento chama "força". Assim é fácil né?

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  20. Muito bom o Post RicBit! :D Pra fechar com chave de ouro vc poderia dar uma mão na tradução do Illusion City hein? kkkk.. Um abração rapá!

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  21. Se fosse pra empolgar com tradução eu terminaria o Hikaru no Go de GBA!

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  22. Ricbit, ótimo post, como sempre. Obrigado! :)

    Estou lendo o livro do James Gleick, The Information, sobre a historia da informacao. Recomendo o livro para todo pesquisador de qualquer area e tambem para profissionais em geral da area de TI.

    Estou no capitulo que conta a historia dos dicionarios. Como voce mesmo disse, desaprender é muito dificil. Estah sendo uma aventura ler este livro e me dar conta de como era o mundo antes de alguns formalismos que, hoje, sao basicos. O primeiro livro que pode ser chamado de dicionario para a lingua inglesa foi criado no seculo XVII. Sim! Na mesma epoca que o Newton (tambem ingles) estava escrevendo o Principia (em Latin). Coincidentemente, o Gleick usa o trabalho do Newton para exemplificar o que foi o trabalho arduo do Cawdrey.

    Antes do Principia, palavras como velocidade, força e gravidade nao tinham o significado que tem hoje. O Gleick comenta que latin era bem menos "promiscuo" que ingles, mas tambem nao tinha definicoes como estas (se tivesse, o Principia seria inutil). Naquela epoca, nao existia ortografia para ingles. Cada pessoa tinha que imaginar a escrita para melhor representar o som das palavras (WTF!!!).

    Algo engracado eh que, segundo o Gleick, o Newton escreve no inicio do livro "I do not define time, space, place or motion, as being well known to all." E, na realidade, o que Newton estava exatamente fazendo era definir matematicamente alguns destes conceitos :D. Em latin, claro. Acho que a tarefa seria impossivel em ingles. :|

    Portanto (soh pra defender um pouco o "giripollas" do Newton), naquela epoca, a sentença "Em um sistema isolado, o momento se conserva", nao teria nenhum significado e, mais importante, seria impossivel escreve-la de qualquer outra forma mantendo o significado que ela carrega atualmente. Por isso, foi necessario escrever tres volumes ao inves de uma frase. :P

    Um ponto do seu post que me chamou a atencao foi o fato do Principia nao conter formulas. Depois de ler o Gleick explicando que naquela epoca nao tinha nem dicionario, fiquei imaginando como era o formalismo e a notacao matematica. Como eh de se esperar (sabendo que nao havia nem dicionario), era praticamente inexistente. Cada pesquisador tinha uma notacao propria e muuuito limitada. Portanto, ao escrever um livro, o cara tinha que usar linguagem natural mesmo. E desenhos geometricos, que jah eram usados ha muito tempo (muitos seculos). Para ilustrar melhor, tirei da Wikipedia um texto (segue abaixo) relatando as datas de quando alguns simbolos matematicos *basicos* foram *introduzidos* (deve ter demorado um "pouco" mais para se tornarem usuais). O simbolo de multiplicacao, por exemplo, foi apresentado primeiramente em 1631, apenas meio seculo antes da primeira *edicao impressa* do Principia.

    Da Wikipedia: "The New algebra (1591) of Francois Viete introduced the modern notational manipulation of algebraic expressions. In 1631 William Oughtred introduced the multiplication sign (×) and abbreviations sin and cos for the trigonometric functions.
    William Jones used π in Synopsis palmariorum mathesios in 1706 because it is the first letter of the Greek word perimetron (περιμετρον), which means perimeter in Greek. This usage was popularized by Euler in 1737."

    O Euler, pelo que entendi lendo um pouco da Wikipedia, foi um grande "formulizador" e contribuiu muito para a notacao matematica moderna. Muito, acredito, inspirado nos diversos trabalhos produzidos no seculo anterior e que revolucionaram a matematica. Havia muito o que formalizar para poder seguir em diante.

    Desculpe pelo comentario gigante. Este livro do Gleick estah "fritando minha cuca" e quando fiz a conexao com o seu post, nao consegui dormir antes de entender melhor o que aconteceu. Espero que seja interessante para alguem. Para mim, foi muito interessante. :) O seu post e o que li na Wikipedia por causa do seu post. Poderia passar a madrugada inteira lendo sobre a historia da matematica (mas nao devo :P).

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  23. Sobre o comentário do Eraldo: o bacana deste blog é que os comentários são frequentemente tão "suculentos" quanto os posts. Mais uma boa dica de leitura! Já tinha me esquecido do James Gleick - fiquei olhando para o "Caos" dele na minha estante, pegando poeira desde os anos 90 (hora de uma boa releitura, by the way). Thanks!

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  24. Como eu chego dessa lei unificada nas 3 anteriores? Isso não ficou tão claro pra mim.

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  25. Gostei da sua abordagem. Já leu o "Ética demonstrada à maneira dos geômetras", de Baruch Spinoza?
    Ela dá uma definição que, pelo menos pra mim, se pareceu mais com uma generalização da lei de inércia: "Toda coisa, enquanto está em si, se esforça por perseverar no seu ser (Ética III, prop.6)... este esforço de nossa essência em perseverar na existência é o próprio conatus.".
    []

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  26. "Imagine que você está em um carro que dá uma freada brusca. Você é acelerado para a frente, e se você multiplicar essa aceleração pela sua massa, descobre a força que te empurrou. "

    já sei!!!! Newton era um cara moderno, sua pergunta tem resposta se o indivíduo estiver usando cinto de segurança!!!! hehehe
    abraços,
    felipe

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  27. Recomendo alguns autores: Max Jammer e Mario Bunge.

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  28. O motivo de ele usar geometria é simples. Naquela época, embora o cálculo já tivesse sido inventado (descoberto?) ele ainda não era a linguagem padrão da comunidade científica. Escrever na linguagem da geometria era uma forma de focar os resultados propostos dentro da linguagem aceita ainda que não fosse a forma mais simples de fazê-lo....

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