O dia que o Knuth ganhou meu cheque

No último dia 10, o Donald Knuth completou 80 anos de vida. Para comemorar, ele fez uma festinha na remota e gelada cidadezinha de Piteå, no norte da Suécia, e eu tive a sorte de poder participar. A festa foi em formato de simpósio de matemática: ao invés de presentes, cada amigo apresentou uma palestra sobre um tema relacionado ao trabalho do Knuth. (E os amigos dele são os caras mais famosos da computação, estavam lá o Sedgewick, o Karp, o Tarjan, entre outros).

Eu também fiz minha contribuição, presenteei o Knuth com vários artigos contendo idéias para futuras revisões dos livros dele. Mas em um dos artigos aconteceu uma coisa engraçada: o Knuth notou que uma das minhas contas podia ser simplificada, e como agradecimento pela sugestão eu tive a oportunidade de inverter expectativas, e dar um cheque para o Knuth :D

A Soma dos Quadrados

O artigo em questão era uma sugestão para o Concrete Mathematics, que é o meu livro de matemática predileto. Sou fã desse livro desde os 17 anos, quando o usava como referência para estudar para a Olimpíada de Matemática.

Quem já leu sabe que o livro contém mais de dez demonstrações diferentes da fórmula para a soma dos quadrados. Para ##n\ge 0##, a fórmula é:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
As demonstrações vão desde as mais simples (usando indução finita), até as mais complexas (usando a fórmula de Euler-MacLaurin). Porém, uns anos atrás, eu bolei uma demonstração nova que é provavelmente a mais curta demonstração de todas! Ela está na caixa azul abaixo:

Testando valores pequenos, notamos que a fórmula é verdadeira para ##n=0##, ##n=1##, ##n=2##, ##n=3##. Logo, é verdadeira para qualquer ##n##.

Sim, eu sei o que você está pensando: "Ricbit, você tá doido? Só porque funciona para alguns números não quer dizer que funciona para todos os números!".

A preocupação é válida: o que mais tem na matemática são fórmulas que funcionam para números pequenos mas falham para números grandes. Um exemplo famoso é o polinômio sortudo de Euler, ##k^2-k+41##, que produz apenas números primos para ##k=1##, ##k=2##, ##k=3##, etc., mas falha lá na frente quando ##k=41##.

Porém, nesse caso, testar números pequenos é suficiente para demonstrar a fórmula! Para entender o motivo precisamos de dois fatos sobre cálculo e polinômios.

O Cálculo Discreto

Quem já estudou cálculo com certeza sabe algumas integrais de cabeça. Por exemplo, a integral do monômio:
$$\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
O que você talvez não saiba é que o cálculo que a gente aprende nas faculdades de exatas é só um tipo de cálculo: o Cálculo Contínuo. Existem outros tipos, como o Cálculo Discreto, que lida com somatórias ao invés de integrais. Esse cálculo possui várias fórmulas análogas ao cálculo mais comum. Em especial, ele tem uma fórmula análoga à integral do monômio:
$$\sum x^{\underline{n}}\;\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}$$
Nesse fórmula o monômio não usa a potência simples, ele usa a potência fatorial, que é definida da seguinte maneira:
$$x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)$$
É como se fosse um fatorial, mas ao invés de ir até o fim, você pega só os ##n## primeiros termos. (Para pronunciar ##x^{\underline n}##,  você fala "x elevado a n caindo").

Para converter uma potência fatorial em uma potência normal, você pode abrir a definição e multiplicar todos os termos, mas isso dá trabalho. É mais fácil ter à mão uma tabela com os números de Stirling (que vêm em dois tipos, o primeiro tipo ##{n\brack k}##, e o segundo tipo ##{n\brace k}##). Esses números são fáceis de calcular porque eles obedecem uma regra similar ao triângulo de Pascal.  Tendo a tabela, as fórmulas abaixo fazem a conversão:
$$\begin{align*}
x^{\underline{n}}&=\sum_k{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k\\
x^{n}&=\sum_k{n\brace k}x^{\underline{k}}\end{align*}$$
Usando as fórmulas acima e alguma paciência, você consegue demonstrar a fórmula da soma dos quadrados (converta ##x^2## em potências fatoriais, use a fórmula de somatória do cálculo discreto, depois converta de volta as potências fatoriais em potências tradicionais).

Mas isso dá muito trabalho. Ao invés disso, note que as fórmulas acima tem uma consequência interessante: com elas é possível ver que a somatória de um polinômio de grau ##n## sempre vai ser um polinômio de grau ##n+1##, e em especial a somatória de ##x^2## vai ser um polinômio de grau 3, a gente só não sabe qual polinômio ainda. Mas aí temos outro truque nas mangas!

Interpolação de polinômios

Certo, eu não sei qual é o polinômio de grau 3 que resolve a somatória. Vamos então escrever esse polinômio na forma ##P(n)=an^3+bn^2+cn+d##. Apesar de não conhecermos o polinômio, é fácil descobrir os pontos por onde ele passa, basta calcular a somatória!

Para valores pequenos de ##n##, podemos tabelar ##P(0)=0##, ##P(1)=1##, ##P(2)=1+4=5##, ##P(3)=1+4+9=14##, agora podemos achar os coeficientes usando álgebra linear:
$$\left[\begin{array}{c}0\\1\\5\\14\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}0^3&0^2&0^1&1\\1^3&1^2&1^1&1\\2^3&2^2&2^1&1\\3^3&3^2&3^1&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right]$$
Novamente, dá muito trabalho. Ao invés disso, notamos que um polinômio de grau ##n## fica completamente determinado por ##n+1## pontos, e agora podemos finalmente entender a demonstração inicial!

Olhe novamente para o que queremos demonstrar:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
De um lado, temos uma somatória de polinômios de grau 2, que sabemos que é um polinômio de grau 3. Do outro lado, temos um polinômio cujo grau também é 3. Para provar que esses dois polinômios são iguais, é suficiente testar os dois polinômios em quatro pontos. Escolhemos os mais fáceis que são ##n=0##, ##n=1##, ##n=2##, ##n=3##, como a fórmula funciona para esses quatro valores, então funciona para todos os valores, QED.

O cheque do Knuth

Quando eu presenteei o artigo com essa demonstração para o Knuth, em segundos após a leitura ele comentou: "Você podia ter usado -1 aqui!".

É verdade! Essa demonstração é tão curta que dá para fazer de cabeça, mas as contas para ##n=3## ficam meio chatinhas. Ao invés disso, você pode usar -1 no lugar de 3, e aí fica bem mais fácil: do lado esquerdo a soma é vazia e dá 0, do lado direito o termo ##(n+1)## zera, logo o resultado dá zero também. Você precisa expandir o domínio da fórmula, de ##n\ge 0## para ##n\ge -1##, o que significa que a fórmula provada com -1 é até melhor que a fórmula provada com 0!

Tradicionalmente, o Knuth oferece $0x1 hexadólar para quem acha um erro em um artigo dele, e $0x0.20 para sugestões. Pela simplificação que ele sugeriu, eu achei pertinente oferecer um cheque também!

Aqui o detalhe do cheque. O Knuth emite cheques pelo banco fictício de San Serriffe (eu tenho $0x5.80 lá atualmente). Os meus cheques eu resolvi emitir pelo Banco de Dados:

O Knuth adorou o cheque! Ele ficou impressionado em como eu consegui fazer tão rápido um cheque que parece mesmo um cheque, mas o segredo é simples: quem fez fez a arte foi a Ila Fox, eu só imprimi no hotel onde estava, usando papel reciclado.

Sem dúvida foi a melhor festa de aniversário que já participei! O Knuth já tinha feito uma festa dessas quando completou 64 anos, e para manter a simetria ele disse que vai fazer outra quando completar 96 anos. Eu certamente estarei lá mais uma vez :)

Totorial de Combinatória Analítica

Se você jogar Cara ou Coroa várias vezes em sequência, qual a chance de nunca aparecer duas caras seguidas?

Esse é um problema que você resolve com ferramentas da Combinatória. Se você estudou para o vestibular, certamente deve lembrar que esse tipo de problema usualmente se resolvia com permutações, arranjos ou combinações.

Infelizmente, isso é verdade no vestibular, mas não na vida real. Os problemas avançados de Combinatória resistem a essas ferramentas básicas. Em geral, você vai precisar de recorrências complexas e somatórias complicadas; e até recentemente não tinha nenhum método que fosse simples e geral, para usar em qualquer situação.

A boa notícia é que isso mudou! Nos últimos anos, surgiu um novo ramo da matemática, chamado de Combinatória Analítica, que permite calcular esses problemas com facilidade. Como ainda não existe nenhum texto introdutório em português, resolvi escrever um totorial para mostrar como as coisas ficam bem simples com esse método!

Um exemplo simples

Como funciona esse método novo? A analogia mais simples é com desenho geométrico. Com as técnicas tradicionais, você precisa de régua, compasso e uma boa dose de insight para resolver os problemas. Ao invés disso, você pode usar geometria analítica: o problema é transformado em uma série de equações, aí você não precisa pensar, só resolver (e em muitos casos nem precisa resolver, é só jogar num sistema de computação automática como o Wolfram Alpha que ele resolve para você).

Com combinatória analítica é parecido: você vai transformar a descrição do seu problema de contagem em uma equação, e aí existem técnicas padrão para resolvê-la. Para mostrar como funciona, vamos pegar um problema simples: Quantas strings binárias de tamanho ##n## existem?

Para ##n=3##, por exemplo, existem oito strings: ##000##, ##001##, ##010##, ##011##, ##100##, ##101##, ##110## e ##111##.

A primeira coisa a ser feita é caracterizar o conjunto de todas as strings. Podemos recursivamente construir as strings binárias válidas com três casos:

Caso 1: A string vazia (##\varepsilon##), ou...

Caso 2: Uma string que começa com ##0##, seguida de uma string válida, ou...

Caso 3: Uma string que começa com ##1##, seguida de uma string válida.

Pronto, agora podemos agora escrever a equação que descreve o conjunto ##B## das strings binárias. Em combinatória analítica, a regra é que a descrição "ou" vira adição, e a operação "seguida de" vira multiplicação. Vou também substituir o caractere ##0## por ##Z_0## e ##1## por ##Z_1## só para deixar claro que nesse contexto são átomos, e não números:
$$B=\varepsilon+Z_0\times B+Z_1\times B$$
Essa é a construção combinatória correspondente às strings binárias. Agora o pulo do gato: eu vou trocar ##\varepsilon## pelo número ##1##, cada átomo individual pela variável ##z##, e resolver a equação:
$$\begin{align*} B&=\varepsilon+Z_0\times B+Z_1\times B\\ B&=1+zB+zB\\ B&=\frac{1}{1-2z} \end{align*}$$
Chegamos então no elemento principal da combinatória analítica: a função geradora do conjunto das strings binárias. E por que ela é tão importante? É que essa função simples tem escondida dentro dela a solução do problema para qualquer ##n##! Basta expandir a função em série (nesse caso, basta reconhecer que essa é a fórmula da soma infinita de uma PG com razão ##2z##): 
$$B=\frac{1}{1-2z}=1+2z+4z^2+8z^3+16z^4+\cdots$$
Olha só, a solução aparece na série! O termo ##8z^3## significa que, para ##n=3##, a solução é ##8##, exatamente como tínhamos visto enumerando as possbilidades.

O operador SEQ

O método acima foi simples né? Mas dá para ficar mais fácil ainda! O pessoal que estuda combinatória analítica faz bastante tempo inventou uma série de operadores que deixam a solução mais fácil de escrever.

O primeiro deles é o operador ##SEQ##, que serve para definir sequências. Ao invés da definição recursiva com três casos, podemos simplesmente dizer que uma string binária é formada por uma sequência de zero ou mais átomos, onde os átomos possíveis são ##0## e ##1##. Daí a construção combinatória sai direto:
$$B=SEQ(Z_0+Z_1)$$
E como transformar isso em função geradora? Se você sabe que um conjunto ##A## tem função geradora ##A(z)##, então a função geradora da sequência de ##A## é: 
$$SEQ(A)=\frac{1}{1-A(z)}$$ 
No nosso caso, a função geradora das strings binárias é:
$$SEQ(Z_0+Z_1)=SEQ(z+z)=\frac{1}{1-2z}$$
Pronto, a função geradora saiu direto, sem precisar resolver nenhuma equação!

O teorema de transferência

Ainda resta o problema de abrir a função geradora em série. Nesse caso foi fácil porque conseguimos ver de cara que a função era a soma de uma PG, mas e em casos mais complicados?

Bem, resolver de maneira exata continua sendo um problema difícil até hoje. Mas na maioria das vezes você não precisa da solução exata, um assintótico para ##n## grande já é suficiente. E para isso a combinatória analítica possui uma série de teoremas de transferência, que dão a resposta assintótica da função geradora sem precisar abrir a série!

O teorema de transferência usado nesse caso é simples de usar, embora sua definição seja meio assustadora:

Se a sua função geradora for uma função racional ##f(z)/g(z)##, onde ##f(z)## e ##g(z)## são relativamente primas, ##g(0)\neq 0##, ##g(z)## tem um único pólo ##1/\beta## de módulo mínimo, e ##\nu## é a multiplicidade desse pólo, então um assintótico para a função é dado por: $$[z^n]\frac{f(z)}{g(z)}=\nu\frac{(-\beta)^\nu f(1/\beta)}{g^{(\nu)}(1/\beta)}\beta^n n^{\nu-1}$$

Eu juro que é simples, apesar de assustador. Para o nosso caso, ##f(z)=1##, ##g(z)=1-2z##, ##g'(z)=-2##, ##\beta=2##, ##f(1/2)=1##, ##g'(1/2)=-2## e ##\nu=1##. Substituindo os valores, temos:
$$[z^n]B(z)=1\times\frac{(-2)^1\times 1}{-2}\times(2)^n n^{1-1} =2^n $$
Portanto, existem ##2^n## strings binárias de tamanho ##n##, o que bate com nosso resultado de ##8## para ##n=3##.

Outro exemplo

E se eu quiser calcular quantas strings binárias existem, mas só as que não possuem dois zeros seguidos? Esse problema é complicado com combinatória tradicional, mas com combinatória analítica fica simples!

Primeiro, vamos caracterizar essas strings. Podemos descrevê-las como uma sequência de ##1## ou ##01##, seguida de ##0## ou vazio:
$$C=SEQ(Z_1+Z_0Z_1)\times(Z_0 + \varepsilon)$$
Traduzindo para função geradora:
$$C=SEQ(z+z^2)\times(z+1)=\frac{z+1}{1-z-z^2}$$
Agora aplicamos o teorema de transferência. ##f(z)=z+1## e ##g(z)=1-z-z^2##. As raízes de ##g(z)## são ##0.618## e ##-1.618##, a de menor módulo é ##0.618## com multiplicidade ##1##. Então:
$$\begin{align*} \beta &= 1/0.618 = 1.618 \\ f(1/\beta)&=f(0.618)=1.618 \\ g'(z) &=-2z-1 \\ g'(1/\beta) &=g'(0.618)=-2.236 \\ C[n]&\sim \frac{-1.618\times 1.618}{-2.236}\times 1.618^n \\ C[n] &\sim 1.171\times 1.618^n \end{align*}$$
Prontinho, transformamos raciocínio, que é díficil, em álgebra, que qualquer chimpanzé bêbado consegue fazer!

A pergunta original

Podemos agora voltar à pergunta original: se você jogar Cara ou Coroa várias vezes em sequência, qual a chance de nunca aparecer duas caras seguidas?

Ora, essa probabilidade é exatamente igual ao número de strings binárias que não possuem dois zeros seguidos, dividida pelo número total de strings binárias. Esses são os dois casos que analisamos, logo:
$$p\sim\frac{1.171\times1.618^n}{2^n} = 1.171\times 0.809^n$$
Easy! E funciona mesmo? Eu fiz uma simulação computacional para comparar com o nosso assintótico, eis o resultado:

Para ##n=5##, simulação ##40.78\%##, assintótico ##40.57\%##.

Para ##n=10##, simulação ##14.17\%##, assintótico ##14.06\%##.

Para ##n=15##, simulação ##4.84\%##, assintótico ##4.87\%##.

Script com a simulação no github

Ou seja, funcionou super bem, e a precisão vai ficando melhor conforme o ##n## aumenta.

Para saber mais

Se você gostou do que viu, a referência definitiva sobre o tema é o livro Analytic Combinatorics, do Flajolet, que foi o inventor da técnica. Não é o livro mais didático do mundo, mas está inteiramente disponível na web. No Coursera, de tempos em tempos, o Sedgewick faz um curso online, que eu super recomendo, foi onde eu aprendi inclusive. E na wikipedia... o tópico é tão novo que não tem na wikipedia em português ainda! Fica como exercício para o leitor criar uma página na wikipedia sobre o tema :)

Livros de Colorir são Equivalentes a Sudoku

De tempos em tempos a mídia impressa inventa uma modinha para vender mais papel. A modinha da vez são os livros de colorir. Eles são uma sensação! Os livros não param nas lojas, existem grupos e grupos falando disso na internet, rola até competição para ver quem pinta melhor!

Mas, se você tem memória boa, deve lembrar que mesma coisa aconteceu dez anos atrás. Ao invés de livros de colorir, a modinha era Sudoku. Era uma sensação! Haviam livros e livros nas lojas, todo mundo falava disso na internet, rolava até competição para ver quem resolvia mais rápido!

À primeira vista, os dois passatempos são bem distintos: o livro de colorir precisa de sensibilidade artística, o sudoku de raciocínio lógico. Mas hoje eu vou provar que, na verdade, os dois são equivalentes! E tudo começa com a regra não escrita dos livros de colorir.

A Regra dos Livros de Colorir

Livros de colorir tem uma regra implícita. Todo mundo concorda que isso aqui é uma pintura válida, certo?

  

Mas isso aqui é trapacear:

 

A regra implícita dos livros de colorir é que pintar duas regiões adjacentes com a mesma cor não vale. Afinal, tem uma linha preta ali, e ela está ali por uma razão, que é separar regiões de cores diferentes. Se você ignorar a linha preta, não está aproveitando todos os detalhes da figura.

Se você for a uma papelaria atualmente, verá que todas as caixas de lápis de cor com 48 cores estão esgotadas. O motivo é que os livros de colorir tem muitas regiões adjacentes, então quanto mais cores, mais fácil de pintar.

E qual é o mínimo de cores que você precisa? Um estojo de 12 cores é suficiente? Incrivelmente, doze cores dá e sobra. Na verdade, com apenas 4 cores você consegue pintar qualquer desenho, sem deixar regiões adjacentes com a mesma cor! Essa proposição é o lendário Teorema das Quatro Cores, que ficou famoso por ter sido o primeiro grande teorema da matemática provado por computador.

Além disso, o problema de pintar um desenho com a menor quantidade de cores possíveis não é apenas teórico. Ele tem várias utilidades práticas! Por exemplo, compiladores usam pintura para fazer alocação de registros, e companhias aéreas usam pintura para fazer alocação de aviões em rotas aéreas.

O problema da pintura mínima também serve para resolver Sudokus. Mas antes de mostrar como isso pode ser feito, vamos resolver um problema mais simples, o Bidoku.

Bidoku

O Bidoku é a versão fácil do Sudoku. Você tem um grid 2x2, e precisa preenchê-lo com 0 e 1, de modo não tenha dois números iguais na mesma linha e na mesma coluna:

 

Esse puzzle é bem fácil, dá para resolver de cabeça né? Mas vamos ver como é o raciocínio usando pintura. Para isso, vamos dar um nome para cada uma das células do puzzle:

 

Cada uma das letras pode ser 0 ou 1. Vamos enumerar as possiblidades: A pode ser 0 ou 1, B pode ser 0 ou 1, e assim por diante:

 

Agora vamos ligar com uma linha todos os nós que não podem acontecer ao mesmo tempo. Começando do B, nós sabemos que ou o B é zero, ou o B é um. Então coloco uma linha entre B0 e B1. Além disso, se B for 0, então nem A e nem C podem ser 0. Da mesma maneira, se B for 1, então nem A e nem C podem ser 1. Desenhando:

 

Agora é só repetir o que fizemos com o B para todas as outras letras:

 

Este é o grafo equivalente do Bidoku. Com o grafo em mãos, podemos achar a figura de colorir equivalente, basta achar um desenho onde as regiões adjacentes são exatamente aquelas indicadas pelas linhas do grafo. Qualquer desenho que satisfaça essa condição serve, pode ser esse aqui, por exemplo:

 

Com o desenho em mãos, podemos resolver o Bidoku através da coloração!. Começa assim: você pega todos os números que foram dados, e pinta de verde. No Bidoku exemplo acima, era dado que o A valia 1, então nós pintamos de verde o A1:

 

Agora é só pintar o restante com o menor número de cores possível, respeitando a regra de que regiões adjacentes precisam ter cores distintas. Se você fizer a pintura, vai notar que é possível pintar com apenas duas cores, de uma única maneira:

 

Agora você pega todas as regiões verdes e retorna para o Bidoku original:

 

Funciona mesmo! O Bidoku foi resolvido pela coloração mínima!

Uma dúvida pertinente é o que acontece com a coloração se você tentar pintar um Bidoku insolúvel. Por exemplo, o Bidoku abaixo não tem solução (o B não pode ser 0 e nem 1):

 

Se você tentar a coloração mínima, vai notar que são necessárias no mínimo três cores para respeitar as regras:

 

Essa regra vale sempre, se a sua coloração mínima tem mais de duas cores, então o Bidoku original era insolúvel.

Agora que já dominamos o Bidoku, podemos passar para a solução do Sudoku.

A Coloração do Sudoku

O Sudoku usa o mesmo raciocínio do Bidoku, mas o problema é muito maior. No Bidoku a célula A tinha duas possibilidades, então nós criávamos dois nós: A0 e A1. No Sudoku, ela tem nove possibilidades, então a célula A gera os nós A1, A2, A3, .., até A9. E você precisa adicionar linhas ligando os números, as linhas, as colunas, e as caixas (eu chamo de caixas aqueles blocos 3x3). O grafo final do Sudoku, levando em conta tudo isso, fica assim:

Clique na imagem para ver o SVG original

São 729 nós e 11664 linhas, só um pouquinho maior que o Bidoku, que tinha 8 nós e 12 linhas. Além disso, no Bidoku nós conseguimos fazer um desenho equivalente ao grafo. No Sudoku isso não é possível, porque esse grafo não é planar (ou melhor, você pode fazer um desenho, mas vai ser um desenho multidimensional em uma geometria possivelmente não-euclideana). Isso não afeta nossa proposição, já você pode colorir diretamente os nós do grafo, ao invés de colorir as regiões de um desenho equivalente.

E como fazemos isso? Da mesma maneira que o Bidoku, você parte de um Sudoku que você quer resolver, por exemplo esse aqui, que eu peguei no The Guardian:

 

Nós vamos pintar de verde todas as células correspondentes no grafo do Sudoku (eu não vou mostrar as linhas dessa vez, assim fica mais visível):

Clique na imagem para ver o SVG original

Pois bem, a minha proposição é que se você fizer a pintura mínima nesse grafo, o resultado do Sudoku vai aparecer nas células que forem pintadas de verde. Nós vimos um exemplo de que isso funciona no Bidoku, mas um exemplo não é uma demonstração, pode ter sido coincidência. Eu vou provar abaixo que isso sempre é verdade. Se você tem medo de demonstrações, pule a caixa azul para ver o Sudoku pintado.

Antes de mais nada, quantas cores precisamos para pintar esse grafo? O instinto é falar que precisamos de 4 cores, por causa do Teorema das Quatro Cores. Mas esse teorema só funciona se o grafo for planar! E o grafo do Sudoku claramente não é planar, já que ele admite o K₅ como subgrafo, e, portanto, viola o teorema de Kuratowski para grafos planares.

Vamos tentar achar qual o número de cores então. Pegue uma célula qualquer, por exemplo uma célula A. Nós temos 9 nós correspondentes, de A1 até A9, e nenhum desses nós pode ter a mesma cor que o outro. Então o grafo da célula A é um clique de tamanho 9. Como o número cromático de um grafo é sempre maior ou igual ao grau do maior clique, então sabemos que o grafo tem pelo menos 9 cores.

Mas, se esse grafo foi construído a partir de um Sudoku que tem solução, então nós podemos construir uma coloração com 9 cores para ele. Você começa pintando todos os nós da solução com a cor 0. Depois, para cada tripla (i, j, digito) que foi pintada com a cor 0, você pinta a tripla (i, j, digito + 1) com a cor 1 (o incremento no dígito é mod 9). Essa pintura não viola o grafo, porque ele é simétrico nos dígitos. Repetindo o processo para as cores 2..9, você tem um grafo totalmente pintado e sem nenhuma violação.

Se o número mínimo de cores é 9, e nós sempre conseguimos construir uma pintura com 9 cores, então o número cromático é 9. Done.

Ainda falta um detalhe: ninguém garante que existe uma única pintura possível com 9 cores (e na prática vai ter mais de uma mesmo). Mas todas as pinturas possíveis resolvem o Sudoku! Como o número cromático é 9, então cada célula (i,j) vai ter um elemento pintado com cada uma das cores possíveis (já que a célula é um clique de tamanho 9). Como cada célula tem todas as cores, então cada célula vai ter um elemento com a cor 0; e se todas as células tem a cor 0, então toda pintura possível embute uma solução do Sudoku. QED.

Se você tiver paciência de fazer a pintura mínima naquele grafo gigante, o resultado será esse aqui:

Clique na imagem para ver o SVG original

Transcrevendo as células verdes para o diagrama original, temos a solução do Sudoku, como prometido!

 

Na prática, esse é provavelmente um dos piores métodos para resolver o Sudoku. Mesmo um algoritmo no estado da arte em graph coloring vai levar um bom tempo para achar uma solução através de pintura mínima. Mas pelo menos você pode dizer que Sudoku é equivalente a um livro de pintura, desde que você não ligue de fazer pinturas mínimas em livros multidimensionais de geometria possivelmente não-euclideana :)

   

O Objetivo Final da Matemática

Quem acompanhou as contas na caixa azul do post sobre o Pokèmon Twitch deve ter notado que eu pulei um pedaço. Em certo ponto da demonstração, eu magicamente tirei do chapéu uma fórmula nada óbvia:

E como foi que eu cheguei nessa fórmula? Simples, eu calculei no Wolfram Alpha:

"Ricbit, você trapaceou! Que roubalheira! Um matemático de verdade jamais faria isso!"

Mas será que é trapaça mesmo? Nesse post, eu vou mostrar como se resolve essa conta sem usar o Wolfram Alpha; e, se você acha que é trapaça, talvez acabe mudando de idéia :)

A progressão hipergeométrica

Para resolver essa somatória sem usar o Wolfram Alpha, nós precisamos relembrar as progressões que aprendemos no colégio. A primeira delas foi a progressão aritmética, onde a diferença entre dois números consecutivos é constante:

   

A segunda delas é a progressão geométrica, onde a razão entre dois números consecutivos é constante:

   

Uma progressão extremamente útil que não ensinam no colégio é a progressão hipergeométrica. Ela parece com a progressão geométrica, porque é definida a partir da razão entre dois elementos consecutivos. Mas agora, ao invés dessa razão ser constante, nós permitimos que a razão seja uma função racional (que é só um jeito chique de dizer que ela é o quociente entre dois polinômios):

 

Naquela somatória que queremos resolver, os termos sendo somados formam uma progressão hipergeométrica. Confira:

   

O numerador é um polinômio em q, o denominador é um polinômio em q. Então confere com a nossa definição de progressão hipergeométrica.

A soma da progressão hipergeométrica

Certamente vocês lembram que as progressões do colégio tinham uma fórmula para a soma de seus termos. A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética é:

A soma dos n primeiros termos da progressão geométrica é:

 

A soma dos n primeiros termos da progressão hipergeométrica é... oops! Não existe uma fórmula geral para a soma de termos hipergeométricos.

Antigamente, achar uma fórmula para uma soma hipergeométrica era tão raro que elas até ganhavam nomes especiais. Por exemplo, a igualdade abaixo tem um nome, é o Binômio de Newton:

 

Outras somas hipergeométricas não tem fórmula, mas são tão úteis, que a própria soma ganha um nome e passa a valer como se fosse uma fórmula:

Por muitos séculos esse foi o estado da arte. Alguém acha uma fórmula aqui, alguém nomeia uma soma ali. Mas isso mudou no meio do século 20.

O algoritmo de Gosper

O primeiro progresso na direção de um método geral de resolução de somas hipergeométricas foi feito pela Mary Celine Fasenmyer em 1945. Depois de se formar em matemática, ela se juntou à ordem religiosa Sisters of Mercy (sim, a mesma que inspirou o nome da banda), e lá ela criou o Método da Irmã Celine, um algoritmo que consegue resolver automaticamente alguns tipos de somas hipergeométicas.

Em 1978 o método foi aprimorado por Bill Gosper e se tornou o algoritmo de Gosper (muito embora eu desconfie que, se a Irmã Celine fosse homem, o algoritmo seria de Gosper-Celine). O método de Gosper se baseia em um teorema surpreendente: A solução de uma soma hipergeométrica é outro hipergeométrico, se e somente se ela puder ser escrita na forma abaixo, onde R[j] é uma função racional.

Essa somatória parece esquisita. Se j é o índice da somatória, então o que ele está fazendo no lado direito da equação? E cadê os limites da somatória?

A resposta é que essa é uma somatória indefinida. Funciona do mesmo jeito que no cálculo: lá você tem integrais definidas e integrais indefinidas, aqui nós temos somatórias definidas (com limites), e somatórias indefinidas (sem limites). Para uma somatória indefinida, sempre vale a propriedade abaixo:

 

Essas duas equações são tudo que nós precisamos para usar o algoritmo de Gosper. Vamos à caixa azul calcular a nossa somatória original:

Começamos substituindo uma equação na outra:

Podemos então dividir tudo por h[j]:

 

Opa, a razão entre os h nós já calculamos lá em cima para a nossa somatória!

 

Falta achar R[j]. Eu sei que ele é um quociente de polinômios, mas não sei qual o grau desses polinômios. Eu vou chutar que o grau é 1, se der errado depois eu volto e aumento o grau. Pois bem, se o grau é 1, então R[j] é da forma abaixo:

 

Agora eu vou substituir. Aperte o cinto que lá vem turbulência:

   

O resultado é um polinômio gigante em j que é identicamente nulo. Se ele é identicamente nulo, então cada um dos seus coeficientes precisa ser zero. Com isso podemos montar um sistema de equações:

 

Agora é "só" resolver o sistema! Vou poupá-los de páginas e páginas, o resultado é o seguinte:

   

Se o sistema não tivesse solução, eu teria que voltar lá em cima e aumentar o grau do polinômio (se as contas foram titânicas com grau 1, imagine com grau 2). Mas o processo não é infinito, existem métodos que permitem achar um limite superior para o grau do polinômio. Se você atingir esse limite sem achar nenhuma solução, então você provou que sua somatória não pode ser escrita como um hipergeométrico.

Voltando à nossa equação original, agora nós sabemos quanto vale a somatória indefinida:

   

Nós queremos a soma de 1 até m, então precisamos converter a soma indefinida em uma soma definida, usando o teorema fundamental do cálculo discreto:

 

Aplicando o teorema, temos:

   

Pronto, esse é o resultado final. Eu acho muito importante que a pessoa resolva o algoritmo de Gosper uma vez na vida, para nunca mais cometer a sandice de repetir o processo. O método é mecânico, você só precisa seguir as regras e não errar as contas. O computador faz isso melhor que você. Use o Wolfram Alpha e economize grafite.

O objetivo final da Matemática

No final do século 19, o Bertrand Russell e o Alfred Whitehead tiveram uma idéia. Ele bolaram um plano para axiomatizar toda a matemática, de uma maneira completa e livre de contradições. Se o plano funcionasse, então toda a Matemática seria reduzida à manipulação de símbolos, que é um processo puramente mecânico e automatizável. O plano começou muito bem, a ponto do Whitehead fazer a seguinte declaração:

"A Civilização avança estendendo o número de operações importantes que podemos fazer sem ter que pensar."

Baseado nessa citação, o Concrete Mathematics do Knuth vai além e conclui:

"O objetivo final da matemática é eliminar a necessidade de todo pensamento inteligente."

É verdade, o objetivo sempre foi esse. Para os babilônios, resolver uma equação de segundo grau era dificílimo, só os grandes mestres conseguiam. Hoje em dia, nós transformamos a equação de segundo grau em uma fórmula que é ensinada para crianças de 14 anos. Você não precisa ser inteligente para usar a fórmula, é só substituir os números e fazer as contas.

Imagine se fosse possível fazer isso com toda a matemática, ao invés de só com equações de segundo grau! Você poderia usar computadores para fazer as contas, no lugar de crianças de 14 anos. A Matemática seria um problema resolvido, e aí você pode se concentrar no que interessa, que são as aplicações. Um físico acabou de descobrir uma propriedade quântica nova, será que ela permite criar um aparelho de teletransporte? Eu monto a equação, jogo no computador, e tcharam! Está aqui a resposta!

Toda a saga por trás do plano do Russell e do Whitehead é contada em quadrinhos no fabuloso Logicomix. Infelizmente, o final da história é que o plano falhou. E falhou espetacularmente. Em 1931, o Gödel provou que nenhum sistema axiomático é capaz de provar todas as sentenças verdadeiras que é capaz de descrever, acabando de uma vez por todas com o sonhado plano da axiomatização completa.

E o século 20 desceu ladeira abaixo. O Church provou que, mesmo se a axiomatização completa tivesse tido sucesso, seria impossível criar um método que prove um teorema qualquer a partir dos axiomas. O Turing provou que é impossível criar um método que analise um programa de computador e diga se ele termina ou se entra em loop infinito. O Matiyasevich provou que é impossível criar um método que resolva todas as equações diofantinas. O Richardson provou que é impossível criar um método que prove todas as identidades trigonométricas. Foi o fim da matemática automatizada... ou não?

Claro que não! Todos esses teoremas provam a impossibilidade do caso geral. Mas você sempre pode automatizar um caso específico. Não existe uma fórmula geral para a soma hipergeométrica, mas o algoritmo de Gosper prova que pelo menos um caso especial pode ser automatizado: o caso da soma hipergeométrica cujo resultado também é um termo hipergeométrico. E esse caso é imensamente útil na prática, especialmente se você estuda computação ou combinatória.

E no fim das contas, usar o Wolfram Alpha para resolver uma somatória é trapacear ou não? Por dentro, tudo que o Wolfram Alpha faz é usar o algoritmo de Gosper. Se você acredita que usar um método computacional é roubar, então por consistência precisa abrir de mão de todos os outros métodos computacionais. Não pode mais resolver a equação de segundo grau usando a fórmula de Bhaskara, não pode mais calcular o máximo divisor comum com o algoritmo de Euclides, não pode nem calcular quanto é 463 vezes 367 sem antes decorar a tabuada do 367.

Para mim isso não faz sentido. E por isso eu uso o Wolfram Alpha sem medo de ser feliz :)

Estimule sua Criatividade #1

Um tempo atrás me perguntaram se existe algum método para ser mais criativo. Isso é bem difícil: para testar se um método funciona ou não, você precisaria medir a criatividade antes e depois de usar o método, e ninguém sabe como mensurar criatividade.

Dito isso, eu conheço dois truques que parecem funcionar bem. Neste post eu vou falar do primeiro método, e pra isso eu vou contar um história que aconteceu comigo lá nos antigos tempos de colégio técnico.

A Federal

Em 1991 eu comecei o curso técnico em eletrônica na ETFSP, popularmente conhecida como a Federal (e que hoje em dia é IFSP). A primeira coisa que nos passaram foi a lista de material para comprar. Além dos básicos livros e cadernos, a lista também incluía itens mais específicos, como caneta nanquim, normógrafo e calculadora científica.

A calculadora foi um problema. Naquela época, calculadoras científicas eram caras (ou melhor, até hoje em dia elas são caras). Como eu não tinha condições de comprar uma, resolvi encarar o desafio de fazer o curso usando só uma calculadora de quatro operações.

O primeiro ano foi fácil: no início do curso, o único componente usado era o resistor, e contas com resistores você consegue fazer só com as quatro operações. No segundo ano apareceram os capacitores, e aí a coisa complicou: agora as contas envolviam exponenciais e funções trigonométricas, que a minha calculadora simples não fazia.

O que fazer então? Dado que eu não conhecia ninguém para me emprestar uma calculadora científica, nem tinha dinheiro para comprar uma, o jeito foi apelar para a herança do meu avô.

A herança do meu avô não era dinheiro. Melhor que isso, era conhecimento! Mais especificamente, era uma estante enorme que ia de parede a parede, com um monte de livros sobre todo tipo de assunto. Os livros eram antigos, da década de 60, e iam desde o Tesouro da Juventude até a Gramática do Jânio Quadros.

O livro que me salvou foi uma curiosa coleção de Matemática para Seminaristas. Eu não sei exatamente por que um padre precisa saber matemática, mas o fato é que o livro era bem completo, começava com produtos notáveis e avançava até o Cálculo. E no meio do caminho, tinha o truque que eu precisava para usar minha calculadora!

A Exponencial

Os problemas que caíam na prova eram mais ou menos assim: dado o circuito RC-série abaixo, calcule a tensão no capacitor após 2 segundos.

No colégio técnico você não precisava resolver a equação diferencial. Ao invés disso, eles davam a fórmula final; você só precisava decorar e aplicar:

O meu problema era a exponencial, que só tem em calculadoras científicas. Mas, usando o livro dos seminaristas, eu descobri a fórmula que resolveu meu problema: a expansão em série de Taylor:

Parece complicado, mas é simples calcular essa fórmula numa calculadora de quatro operações, desde que ela tenha os botões de memória (M+, M-, MC e MR). No exemplo dado, em que eu preciso calcular exp(-0.2), a sequência de botões é curta:

C MC 1 M+ . 2 M- × . 2 ÷ 2 = M+ × . 2 ÷ 3 = M- × . 2 ÷ 4 = M+ MR

Com 29 toques eu tenho o valor de 0.818, correto com três casas decimais (e o professor só pedia duas). Se você tiver os dedos ágeis, praticamente não leva tempo!

Esse método também é bom para calcular senos e cossenos, que aparecem no cálculo de ângulos de fasores e no cálculo do fator de potência. Mas tem um caso onde o método não funciona...

O Logaritmo

Às vezes, o que caía na prova era o problema inverso: dado aquele mesmo circuito RC-série, quanto tempo leva pro capacitor ficar com metade da tensão da fonte? Nesse caso, a conta depende de log(0.5), e não tem logaritmo na calculadora de quatro operações.

Pior, nesse caso o livro também não ajudava. A única fórmula que tinha no livro era a seguinte:

Se você tentar usar essa fórmula na calculadora, logo vai perceber que ela não é prática: são necessários muitos termos para conseguir a precisão de duas casas decimais desejada. Olhando as fórmulas, a velocidade de convergência é clara: os coeficientes da exponencial caem com a velocidade do fatorial, enquanto que os coeficientes do logaritmo caem com a velocidade da série harmônica, que é muito mais lenta.

Hoje em dia, eu provavelmente usaria o método de Newton-Raphson para calcular o logaritmo. Mas eu não entendia de cálculo numérico, então nem sabia que esse método existia. Por isso, eu tive que apelar. Ao invés de decorar uma fórmula, eu decorei quatro números:

É fácil decorar quatro números de 7 dígitos né? Certamente todo mundo sabe pelo menos quatro números de telefones de cabeça, e a dificuldade é a mesma. Com esses quatro números, eu conseguia calcular tudo que queria! Precisa de log(0.5)?

Precisa de log(4.2)? Beleza:

E se for log(2.6)? Ops, aí não dá, 26 tem um fator primo 13 que não está na minha lista. Mas eu posso aproximar:

O resultado não é exato, mas tem precisão de duas casas. Quem precisa de calculadora científica, afinal?

Isso foi sorte, ou sempre é possível aproximar? Na época eu tinha uma intuição que sempre dava, mas hoje em dia eu consigo demonstrar que isso é verdade! A demonstração está na caixa azul, pule se você não sabe teoria dos números:

A demonstração usa diretamente o teorema da equidistribuição de Weyl: o conjunto das partes fracionárias dos múltiplos inteiros de um número irracional qualquer é denso em [0,1). Ou seja, para qualquer irracional α e real q, onde 0 ≤ q < 1, e para qualquer ε positivo dado, sempre existe um inteiro n tal que a fórmula abaixo é verdadeira:

Com um pouquinho de álgebra é fácil estender o domínio de [0,1) para todos os reais. Imagine que escolhemos um real x qualquer, tal que x=p+q, onde p é a parte inteira e q é a parte fracionária. Então podemos partir da equação anterior:

Note que o piso de nα é um inteiro, e p é um inteiro. Vamos chamar de m a diferença dos dois:

Ou seja, eu posso escolher qualquer irracional α e qualquer real x, que sempre vai existir um par de inteiros m e n que satisfazem a inequação. Já que eu posso escolher qualquer número, então escolho α e x como abaixo:

Note que α é irracional, portanto podemos usar nossa inequação:

Ou seja, sempre podemos aproximar o log de um real y qualquer como a soma de múltiplos inteiros de log(2) e log(3), nem precisava ter decorado o log(5) e log(7)!

Infelizmente, essa demonstração é um exemplo de prova não-construtiva: ela garante a existência dos inteiros m e n, mas não fala como achá-los! No fim, você precisa descobrí-los pela intuição, exatamente como eu fazia :)

A Criatividade

Eu poderia terminar o post com uma moral do tipo "se a vida te deu limões, então arranje uns bastões de cobre e faça uma bateria", mas tem uma lição mais importante! A Marissa Mayer cantou a bola em uma entrevista de 2006: a criatividade adora restrições, especialmente se acompanhada de um desprezo saudável pelo impossível.

Tente se lembrar de alguma coisa que você viu e achou muito criativo. Que tal a artista que fazia retratos usando fita cassete? O cara que faz arte usando frutas? O doido que reescreveu The Raven, do Poe, de modo que o número de letras do poema batesse com os dígitos de pi?

Todos eles são exemplos onde o autor se auto-impôs uma restrição (de forma, de conteúdo, de matéria-prima). Se você quer expandir sua criatividade, impor limites costuma ser mais efetivo que retirá-los. Eu mesmo sempre tive problemas quando me pediam uma redação "com tema livre", era muito mais fácil quando o tema tinha alguma restrição.

E isso não vale apenas para arte, vale para computação também. Tente fazer aquele seu programa usar menos memória, menos CPU, tente programar a mesma coisa em menos tempo: tudo isso vai te forçar a usar soluções mais criativas.

Eu ainda tenho outro truque para estimular a criatividade, mas esse fica para o post seguinte :)

(Agradecimentos ao povo do Math Stack Exchange pela ajuda na demonstração)