Todo mundo já ouviu a história de que foi Colombo que confirmou que a Terra era redonda, e que antes dele as pessoas achavam que a Terra era plana. Porém, isso é um mito! Desde a época dos gregos já se sabia que a Terra é redonda.
Mesmo para os povos antigos as evidências eram fáceis de serem encontradas. Por indução, se o Sol é redondo e a Lua é redonda, por que a Terra não seria? Mais diretamente, durante um eclipse lunar, é possível ver claramente que a sombra projetada pela Terra é redonda.
Nem mesmo a Igreja disputava essa interpretação. Santo Agostinho, por exemplo, sabia que a Terra era esférica, embora não acreditasse que houvesse gente morando do outro lado do globo. São Tomás de Aquino começa a sua Summa Theologica citando duas diferentes demonstrações de que a Terra é redonda.
"Mas e aquela história de que os marinheiros da época tinham medo de cair pela borda da Terra?" Bem, para quem não entende como a gravidade funciona, é possível ter esse medo mesmo com a Terra sendo redonda! Se a gravidade puxa sempre para baixo, então você cai quando chega no Equador:
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Aparentemente, todo esse mito começou com a publicação de "As Vida e as Viagens de Cristóvão Colombo", que você pode ler integralmente no Google Books. O livro realmente cita que o senso comum era de que a Terra era plana. O problema é que todo mundo achou que esse era um livro de história, quando na verdade era ficção! (Concluí-se, portanto, que o autor desse livro foi um precursor do The Onion).
Hoje em dia ainda há quem acredite que a Terra é plana, desde os ingênuos que nunca tiveram acesso à educação, até os malucos que formam seitas como a Sociedade da Terra Plana. Talvez você conheça alguém assim. Na verdade, é bem possível que você acredite na Terra Plana. Sim, você que está lendo esse texto!
Se você acha que não acredita na Terra plana, então tente responder o meu teste: Suponha que você está usando um estilingue para arremessar passarinhos em porquinhos. Na ausência de atrito com o ar e outras formas de perdas dissipativas, qual a curva que o passarinho descreve em seu trajeto?
Se você respondeu que a curva é uma parábola, surpresa! Você acabou de assumir que a Terra é plana!
"Mas peraí! Como assim?! Foi isso que meu professor ensinou!". Pois é, sempre é bom ter uma dose de ceticismo quando te ensinam alguma coisa. Na verdade, a prova de que a trajetória é uma parábola requer a existência de uma força gravitacional do tipo F=mg, onde g é uma constante de aproxidamente 9.81 m/s2.
A pegadinha é que esse g não é uma constante! Ele varia com a altura, e, levando isso em conta, a curva não é mais uma parábola. Porém, se você assumir que a Terra é um plano infinito, aí sim a curva é uma parábola, porque nesse caso g é uma constante independente da altura.
E como provar que o g é realmente constante para uma Terra plana? Existem várias maneiras: se você souber um pouco de cálculo, pode usar o método do guerreiro, que envolve várias páginas de lutas contra integrais duplas. Se você for um mestre do cálculo, pode tentar o método do mago, que resolve com poucas contas, mas requer o uso de teoremas mágicos. Agora, se você não souber cálculo, o jeito é apelar para método do clérigo: acredite em mim e pule o quadro azul abaixo :)
Mas se na Terra redonda a curva não é uma parábola, então que curva ela é? Bem, se você assumir que a Terra é uma esfera perfeita, homogênea, sem campos magnéticos, e assumir que não há atrito com ar e que ninguém está girando, então a curva correta é uma elipse.
Para quem leu o Principia, este é um resultado intuitivo. Na Proposição 71 do Livro 1, o Newton demonstra que a força resultante da atração por uma esfera homogênea é a mesma força de quando você concentra toda a massa da esfera num ponto material em seu centro. Daí o problema se reduz à atração entre dois pontos materiais, que sabemos ser uma elipse.
Esse raciocínio também serve para responder a uma dúvida comum da criançada: se a gravidade da Terra puxa tudo para o centro, por que os satélites entram em órbita ao invés de cair? A resposta mais imediata é que na verdade tudo que você joga pra cima entra em órbita, mas algumas órbitas são tão excêntricas que o objeto bate de volta na superfície da Terra.
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Eu não gosto muito da maneira que ensinam Física no Brasil (o Feynman também não). Felizmente, hoje em dia você sempre pode remediar a sua formação usando os recursos online, como a Wikipedia e a Khan Academy!
Mesmo para os povos antigos as evidências eram fáceis de serem encontradas. Por indução, se o Sol é redondo e a Lua é redonda, por que a Terra não seria? Mais diretamente, durante um eclipse lunar, é possível ver claramente que a sombra projetada pela Terra é redonda.
Nem mesmo a Igreja disputava essa interpretação. Santo Agostinho, por exemplo, sabia que a Terra era esférica, embora não acreditasse que houvesse gente morando do outro lado do globo. São Tomás de Aquino começa a sua Summa Theologica citando duas diferentes demonstrações de que a Terra é redonda.
"Mas e aquela história de que os marinheiros da época tinham medo de cair pela borda da Terra?" Bem, para quem não entende como a gravidade funciona, é possível ter esse medo mesmo com a Terra sendo redonda! Se a gravidade puxa sempre para baixo, então você cai quando chega no Equador:
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Aparentemente, todo esse mito começou com a publicação de "As Vida e as Viagens de Cristóvão Colombo", que você pode ler integralmente no Google Books. O livro realmente cita que o senso comum era de que a Terra era plana. O problema é que todo mundo achou que esse era um livro de história, quando na verdade era ficção! (Concluí-se, portanto, que o autor desse livro foi um precursor do The Onion).
Hoje em dia ainda há quem acredite que a Terra é plana, desde os ingênuos que nunca tiveram acesso à educação, até os malucos que formam seitas como a Sociedade da Terra Plana. Talvez você conheça alguém assim. Na verdade, é bem possível que você acredite na Terra Plana. Sim, você que está lendo esse texto!
Se você acha que não acredita na Terra plana, então tente responder o meu teste: Suponha que você está usando um estilingue para arremessar passarinhos em porquinhos. Na ausência de atrito com o ar e outras formas de perdas dissipativas, qual a curva que o passarinho descreve em seu trajeto?
Se você respondeu que a curva é uma parábola, surpresa! Você acabou de assumir que a Terra é plana!
"Mas peraí! Como assim?! Foi isso que meu professor ensinou!". Pois é, sempre é bom ter uma dose de ceticismo quando te ensinam alguma coisa. Na verdade, a prova de que a trajetória é uma parábola requer a existência de uma força gravitacional do tipo F=mg, onde g é uma constante de aproxidamente 9.81 m/s2.
A pegadinha é que esse g não é uma constante! Ele varia com a altura, e, levando isso em conta, a curva não é mais uma parábola. Porém, se você assumir que a Terra é um plano infinito, aí sim a curva é uma parábola, porque nesse caso g é uma constante independente da altura.
E como provar que o g é realmente constante para uma Terra plana? Existem várias maneiras: se você souber um pouco de cálculo, pode usar o método do guerreiro, que envolve várias páginas de lutas contra integrais duplas. Se você for um mestre do cálculo, pode tentar o método do mago, que resolve com poucas contas, mas requer o uso de teoremas mágicos. Agora, se você não souber cálculo, o jeito é apelar para método do clérigo: acredite em mim e pule o quadro azul abaixo :)
O Método do Guerreiro
Antes de começar, convém lembrar a lei da gravidade de Newton, que é proporcional às massas e inversamente quadrática com a distância entre elas:
Como a lei tem simetria radial, as contas ficam mais fáceis se explorarmos essa simetria. Vamos calcular qual é a atração gravitacional causada por um disco de raio R e espessura infinitesimal, composto de materia uniforme com densidade σ, sobre um passarinho de massa mP que esta a uma altura h.
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Nós vamos picotar o disco em pedacinhos de massa dm e integrar sobre todos os pedacinhos. Como as dimensões de cada pedacinho são infinitesimais, então eles podem ser considerados pequenos retângulos, onde um dos lados vale dr, e o outro vale um pequeno comprimento de arco. Um comprimento de arco é igual ao raio vezes o ângulo, logo esse lado vale r.dϕ . A massa do pedacinho, então, é a densidade vezes a área: σ.r.dr.dϕ.
Além disso, se eu tenho o raio r e a altura h, por Pitágoras eu sei quanto vale d2. A força total sobre o pedacinho é:
Antes de continuar, vamos decompor a força total em componentes radial (Fr) e vertical (Fh). Agora a simetria do problema se mostra útil, basta notar que para cada dm, tem um outro dm numa posição simétrica, do outro lado do disco; e nesse dm espelhado, o Fr vai ter o mesmo módulo e direção, mas sinal oposto. Então todos os Fr vão cancelar, e a força total sobre o passarinho vai ser apenas a soma dos Fh de cada dm.
E quanto vale o Fh? É a força total F vezes o cos θ, que por sua vez é o lado adjacente pela hipotenusa. Logo:
Para calcular o Fh total, é só integrar para o ϕ variando de 0 a 2π, e para o r variando de 0 a R:
Todo mundo é constante em relação a ϕ, então dá pra jogar pra fora, e a integral em dϕ fica simples:
Para continuar, uma mudança de variável:
O meio joga pra fora e cancela com o dois, o resto é um monômio simples, para integrar você soma um no expoente e passa dividindo:
A ultima expressão é a fórmula final da força gerada por um disco uniforme. Por fim, basta notar que o plano é o limite do disco quando o raio vai para o infinito:
Se o R vai para o infinito, então a primeira fração vai para zero, logo:
Nós estamos interessados no caso em que h é positivo, logo a fração simplifica e chegamos na forma final da força devida a um plano:
Antes de começar, convém lembrar a lei da gravidade de Newton, que é proporcional às massas e inversamente quadrática com a distância entre elas:
Como a lei tem simetria radial, as contas ficam mais fáceis se explorarmos essa simetria. Vamos calcular qual é a atração gravitacional causada por um disco de raio R e espessura infinitesimal, composto de materia uniforme com densidade σ, sobre um passarinho de massa mP que esta a uma altura h.
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Nós vamos picotar o disco em pedacinhos de massa dm e integrar sobre todos os pedacinhos. Como as dimensões de cada pedacinho são infinitesimais, então eles podem ser considerados pequenos retângulos, onde um dos lados vale dr, e o outro vale um pequeno comprimento de arco. Um comprimento de arco é igual ao raio vezes o ângulo, logo esse lado vale r.dϕ . A massa do pedacinho, então, é a densidade vezes a área: σ.r.dr.dϕ.
Além disso, se eu tenho o raio r e a altura h, por Pitágoras eu sei quanto vale d2. A força total sobre o pedacinho é:
Antes de continuar, vamos decompor a força total em componentes radial (Fr) e vertical (Fh). Agora a simetria do problema se mostra útil, basta notar que para cada dm, tem um outro dm numa posição simétrica, do outro lado do disco; e nesse dm espelhado, o Fr vai ter o mesmo módulo e direção, mas sinal oposto. Então todos os Fr vão cancelar, e a força total sobre o passarinho vai ser apenas a soma dos Fh de cada dm.
E quanto vale o Fh? É a força total F vezes o cos θ, que por sua vez é o lado adjacente pela hipotenusa. Logo:
Para calcular o Fh total, é só integrar para o ϕ variando de 0 a 2π, e para o r variando de 0 a R:
Todo mundo é constante em relação a ϕ, então dá pra jogar pra fora, e a integral em dϕ fica simples:
Para continuar, uma mudança de variável:
O meio joga pra fora e cancela com o dois, o resto é um monômio simples, para integrar você soma um no expoente e passa dividindo:
A ultima expressão é a fórmula final da força gerada por um disco uniforme. Por fim, basta notar que o plano é o limite do disco quando o raio vai para o infinito:
Se o R vai para o infinito, então a primeira fração vai para zero, logo:
Nós estamos interessados no caso em que h é positivo, logo a fração simplifica e chegamos na forma final da força devida a um plano:
Como esperado, a força F não depende da altura h!
O Método do Mago
Ao invés de usar a lei da gravidade de Newton, podemos usar a lei da gravidade de Gauss, que diz que a integral do campo gravitacional sobre uma superfície fechada é proporcional a massa contida dentro dela:
Essas duas leis são equivalentes, pode-se usar uma para provar a outra. Mas em alguns casos a lei de Gauss é mais prática, especialmente se você puder bolar uma superfície que explore as simetrias do problema. No nosso caso, a superfície mágica é um cilindro centrado no plano, com as bases paralelas a ele:
Antes de mais nada precisamos da massa dentro da superfície. Vamos chamar a área da base do cilindro de A. Como o plano tem densidade σ, entao a massa dentro da superfície fechada é M = A.σ.
Nós já vimos antes que, pela simetria radial, todas as forças resultantes são perpendiculares ao plano. Na lateral do cilindro, todos os elementos de área dA são normais à lateral, logo são perpendiculares às forças, e portanto o produto escalar deles dá zero.
Além disso, também há uma simetria em relação à translações no plano, por isso todas as forças atuando a uma mesma altura são iguais entre si. Dessa maneira, a integral de superfície em cada base do cilindro vale esse valor constante (chamemos de F) vezes a área A.
Juntando tudo, temos:
Esse é o mesmo resultado do método anterior, mas com bem menos contas!
Mas se na Terra redonda a curva não é uma parábola, então que curva ela é? Bem, se você assumir que a Terra é uma esfera perfeita, homogênea, sem campos magnéticos, e assumir que não há atrito com ar e que ninguém está girando, então a curva correta é uma elipse.
Para quem leu o Principia, este é um resultado intuitivo. Na Proposição 71 do Livro 1, o Newton demonstra que a força resultante da atração por uma esfera homogênea é a mesma força de quando você concentra toda a massa da esfera num ponto material em seu centro. Daí o problema se reduz à atração entre dois pontos materiais, que sabemos ser uma elipse.
Esse raciocínio também serve para responder a uma dúvida comum da criançada: se a gravidade da Terra puxa tudo para o centro, por que os satélites entram em órbita ao invés de cair? A resposta mais imediata é que na verdade tudo que você joga pra cima entra em órbita, mas algumas órbitas são tão excêntricas que o objeto bate de volta na superfície da Terra.
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Eu não gosto muito da maneira que ensinam Física no Brasil (o Feynman também não). Felizmente, hoje em dia você sempre pode remediar a sua formação usando os recursos online, como a Wikipedia e a Khan Academy!
