Mágicas com calculadoras

Tem um diálogo que sempre acontece quando vou visitar algum amigo que tenha filho pequeno. Eu sou apresentado pelo amigo como "o Ricbit, aquele amigo que gosta de Matemática". Aí a criança, espantada, responde "mas como assiiiiiim ele gosta de Matemática?!". E o amigo responde "ah, mas matemática com o tio Ricbit é divertida. Mostra pra ele, Ricbit!". E aí eu, que nem cheguei direito, já estou com a batata quente na mão!

Felizmente, eu já descobri alguns truques pra lidar com situações assim. Se a criança ainda está na fase de achar que matemática é aritmética, então uma abordagem que funciona bem é pedir uma calculadora emprestada,e falar que você vai usá-la pra fazer mágicas.

Uma das mágicas clássicas funciona assim:

1. Primeiro você pede pra criança digitar 13837, que é um número mágico.

2. Depois, você pergunta quantos anos tem o pai dela, e fala pra ela multiplicar aquele número mágico pela idade do pai. Digamos que o pai tem 42 anos, então o resultado será 581154.

3. Por fim, você fala pra criança multiplicar esse número que está no visor por outro número mágico, 73.

Surpresa! O resultado é 42424242, a idade do pai repetida até encher o visor da calculadora! Crianças adoram isso, eu imagino que o motivo é uma variação da Lei de Clarke. A criança não entende porque isso aconteceu, e qualquer conta suficientemente incompreensível é indistinguível de magia. (Pensando bem, isso funciona com estudantes de engenharia também).

O truque funciona com qualquer valor de idade, é claro. O motivo é simples: se você multiplicar os dois números mágicos, 13837*73 resulta em 1010101. Qualquer número de dois dígitos fica replicado quatro vezes quando você multiplica por 1010101. O ilusionismo do truque é que o par de números mágicos obfusca esse valor.

A pergunta natural nesse caso é: dá pra fazer a mágica com cinco repetições? Seis? Quantas eu quiser?

Isso só é possível se o número 101...01 não for primo. Sendo composto, você sempre pode separar os fatores em dois números mágicos. Vamos fazer um teste rápido. Para duas repetições não dá, 101 é primo. Para três repetições temos 259 e 39, para cinco temos 372731 e 271. Usando o Wolfram Alpha, dá pra checar manualmente que acima de duas repetições todos os números parecem compostos. Mas dá pra provar isso?

Eu achei que esse seria um problema complexo, mas acabou sendo mais fácil do que eu esperava! A prova pode ser feita só com matemática elementar. Suponha que o número que queremos fatorar gera n repetições, então ele pode ser escrito como a soma de uma progressão geométrica finita:



Se você notar que 100ⁿ é o mesmo que 10²ⁿ, então dá pra fatorar o numerador como diferença de quadrados:



Agora é só notar que, para n>2, os dois termos do numerador são bem maiores que 99, então nenhum deles simplifica completamente. Daí, o valor final sempre vai ter pelo menos dois fatores, o que completa a demonstração.

Ainda tem um monte de mágicas que podem ser feitas com calculadoras, mas essas ficam para posts futuros :)

(Obrigado ao Jacques Brancher e ao Fábio Moreira pelas idéias.)