Ao Infinito e Além

O que há de comum entre Cantor, Gödel e Turing? Pelo menos duas coisas, e a primeira delas é que os três tentaram expandir os limites da matemática.

Cantor, por exemplo, queria contar até infinito. Essa é uma tarefa bem difícil: todos os que tentaram, cansaram antes de concluir! Mas o que o Cantor percebeu foi que, embora seja difícil contar diretamente, você pode contar até infinito indiretamente, desde que você saiba qual o significado real de "contar" alguma coisa.

O que significa, por exemplo, que você tem quatro maçãs? Na interpretação de Cantor, isso significa que você pode criar uma bijeção do seu conjunto de maçãs com um subconjunto dos números naturais, como na figura abaixo:

Se você criou uma bijeção do seu conjunto com o conjunto dos quatro primeiros naturais, então você efetivamente contou seu conjunto e concluiu que ele tem quatro elementos. O truque do Cantor foi perceber que você podia estender esse conceito, e criar bijeções com todos os naturais, ao invés de só algum subconjunto. E isso leva a resultados que são bem pouco intuitivos!

Por exemplo, o conjunto dos números pares. A intuição do iniciante é que esse conjunto tem a metade dos elementos dos naturais. Mas não é verdade, porque você pode construir uma bijeção entre os dois:


Para cada natural você tem um par correspondente, para cada par você tem um natural. Pelo raciocínio do Cantor, então esses dois conjuntos tem o mesmo número de elementos, o que também mostra que, pelo menos quando você está lidando com o infinito, a parte pode ser igual ao todo.

Indo além, o Cantor também mostrou que os Números Racionais também são do mesmo tamanho dos Naturais. Quem quiser repetir a demonstração original dele, pode tentar fazer o problema CANTON do spoj, que pede para você criar a bijeção. Uma maneira alternativa é utilizar uma construção inventada pelo Gödel: a cada racional p/q, você associa o natural 2^p3^q, e pra transformar o natural de volta numa racional, você usa a fatoração única que o Teorema Fundamental da Aritmética te garante.

Quando um conjunto tem o mesmo tamanho dos naturais, diz-se que ele tem cardinalidade aleph-zero, ou ainda, que é um conjunto contável. Mas todos os conjuntos infinitos são contáveis? Não! O Cantor também mostrou que o conjunto dos Números Reais é maior que qualquer conjunto contável dado, utilizando um método chamado argumento diagonal. Ou seja, os números reais são um tipo de infinito maior que o infinito dos naturais!

Agora, se os racionais são contáveis, e os reais não são, fica claro que os culpados por existir um infinito maior que o outro são os irracionais. Mas quais irracionais? Existem vários tipos deles também. Por exemplo, alguns irracionais podem ser construídos como raízes de polinômios de coeficientes inteiros (diz-se que esses são irracionais algébricos). Um exemplo é a razão áurea, que é a maior raiz do polinômio x²-x-1.

Porém, os irracionais algébricos são contáveis também. Basta utilizar novamente o mesmo truque do Gödel, dessa vez você associa cada coeficiente do polinômio a um expoente de um número primo. Um polinômio como x²+2x+1, por exemplo, escreveria-se como 2¹*3²*5¹.

Ora, se os irracionais algébricos são contáveis, então o que torna os reais maiores que os naturais são os irracionais não-algébricos (ou transcendentes). Mas mesmo entre esses existem vários tipos. O número Pi, por exemplo: você não consegue construí-lo como uma raiz de um polinômio, mas pode aproximá-lo com um algoritmo computacional, com tanta precisão quanto se queira. Dos números que podem ser aproximados por algoritmos, diz-se que são números computáveis.

Surpreendentemente, os irracionais computáveis são contáveis também. A maneira simples de visualizar isso é da seguinte maneira: se existe um algoritmo que aproxima o número, então esse algoritmo pode ser implementado numa linguagem qualquer (como nos garante a tese de Church-Turing). Agora, imagine que você criou um binário que implementou esse algoritmo, e esse binário tem X bytes. Se você fizer um hexdump do binario e imprimi-lo, você vai ter na sua frente um número hexa de 2X dígitos (que é um número natural grandinho, mas ainda assim um natural).

Mas se os irracionais computáveis são contáveis, quem são os não-contáveis? Existem números que não podem ser calculados por algoritmos? A resposta é sim, e um desses números é a constante de Chaitin. A construção da constante é curiosa. Nós vimos que, a cada algoritmo possível, existe um natural associado. Calcule então a seguinte somatória: para cada algoritmo existente (cujo natural associado é n), se o algoritmo pára, você soma 2^-n, senão não soma nada. Ora, essa somatória não pode ser calculada por um algoritmo, porque o Teorema de Turing garante que você não pode construir um algoritmo que detecta se outro algoritmo pára. A constante de Chaitin, então, é um número não-computável.

Mas os irracionais não-computáveis ainda não são o segredo do infinito real. Eu não consigo construir um algoritmo que aproxima a constante de Chaitin, mas no parágrafo acima eu consegui descrever exatamente do que a constante se trata. Os números que eu consigo descrever são números definíveis, e, (surpresa), eles são contáveis também. O argumento é ainda mais simples, se eu posso escrever um arquivo texto que contenha a descrição do número, o hexdump desse arquivo também vai associar a descrição a um número natural.

Então, os números que fazem o infinito dos reais ser maior que o infinito dos naturais são os números que não podemos construir, não podemos aproximar e não podemos descrever, ou seja, nem dá pra pensar sobre eles!

Se a essa altura sua cabeça deu tilt, então deixe-me concluir qual é a segunda coisa em comum entre Cantor, Gödel e Turing: os três ficaram doidos. De fato, Cantor achava que era um mensageiro de Deus, e terminou a vida num hospício. Gödel ficou paranóico com comida contaminada, e só comia o que a mulher preparava (quando a mulher ficou doente e internada num hospital, ele literalmente morreu de fome). E o Turing ficou tão deprimido que se matou, comendo uma maçã envenenada.

Há quem diga que existe relação causal entre estudar o infinito e ficar doido. Se você é desse tipo, hum, então era melhor não ter lido esse post :)

(Esse post é dedicado ao prof. Henrique, in memorian, líder do nosso grupo de doidos, que se reunia toda sexta na USP para estudar matemática, computação e ciências cognitivas. Três vivas aos que estudam o infinito, e além!)