No último dia 10, o Donald Knuth completou 80 anos de vida. Para comemorar, ele fez uma festinha na remota e gelada cidadezinha de Piteå, no norte da Suécia, e eu tive a sorte de poder participar. A festa foi em formato de simpósio de matemática: ao invés de presentes, cada amigo apresentou uma palestra sobre um tema relacionado ao trabalho do Knuth. (E os amigos dele são os caras mais famosos da computação, estavam lá o Sedgewick, o Karp, o Tarjan, entre outros).
Eu também fiz minha contribuição, presenteei o Knuth com vários artigos contendo idéias para futuras revisões dos livros dele. Mas em um dos artigos aconteceu uma coisa engraçada: o Knuth notou que uma das minhas contas podia ser simplificada, e como agradecimento pela sugestão eu tive a oportunidade de inverter expectativas, e dar um cheque para o Knuth :D
O artigo em questão era uma sugestão para o Concrete Mathematics, que é o meu livro de matemática predileto. Sou fã desse livro desde os 17 anos, quando o usava como referência para estudar para a Olimpíada de Matemática.
Quem já leu sabe que o livro contém mais de dez demonstrações diferentes da fórmula para a soma dos quadrados. Para ##n\ge 0##, a fórmula é:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
As demonstrações vão desde as mais simples (usando indução finita), até as mais complexas (usando a fórmula de Euler-MacLaurin). Porém, uns anos atrás, eu bolei uma demonstração nova que é provavelmente a mais curta demonstração de todas! Ela está na caixa azul abaixo:
Sim, eu sei o que você está pensando: "Ricbit, você tá doido? Só porque funciona para alguns números não quer dizer que funciona para todos os números!".
A preocupação é válida: o que mais tem na matemática são fórmulas que funcionam para números pequenos mas falham para números grandes. Um exemplo famoso é o polinômio sortudo de Euler, ##k^2-k+41##, que produz apenas números primos para ##k=1##, ##k=2##, ##k=3##, etc., mas falha lá na frente quando ##k=41##.
Porém, nesse caso, testar números pequenos é suficiente para demonstrar a fórmula! Para entender o motivo precisamos de dois fatos sobre cálculo e polinômios.
Quem já estudou cálculo com certeza sabe algumas integrais de cabeça. Por exemplo, a integral do monômio:
$$\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
O que você talvez não saiba é que o cálculo que a gente aprende nas faculdades de exatas é só um tipo de cálculo: o Cálculo Contínuo. Existem outros tipos, como o Cálculo Discreto, que lida com somatórias ao invés de integrais. Esse cálculo possui várias fórmulas análogas ao cálculo mais comum. Em especial, ele tem uma fórmula análoga à integral do monômio:
$$\sum x^{\underline{n}}\;\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}$$
Nesse fórmula o monômio não usa a potência simples, ele usa a potência fatorial, que é definida da seguinte maneira:
$$x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)$$
É como se fosse um fatorial, mas ao invés de ir até o fim, você pega só os ##n## primeiros termos. (Para pronunciar ##x^{\underline n}##, você fala "x elevado a n caindo").
Para converter uma potência fatorial em uma potência normal, você pode abrir a definição e multiplicar todos os termos, mas isso dá trabalho. É mais fácil ter à mão uma tabela com os números de Stirling (que vêm em dois tipos, o primeiro tipo ##{n\brack k}##, e o segundo tipo ##{n\brace k}##). Esses números são fáceis de calcular porque eles obedecem uma regra similar ao triângulo de Pascal. Tendo a tabela, as fórmulas abaixo fazem a conversão:
$$\begin{align*}
x^{\underline{n}}&=\sum_k{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k\\
x^{n}&=\sum_k{n\brace k}x^{\underline{k}}\end{align*}$$
Usando as fórmulas acima e alguma paciência, você consegue demonstrar a fórmula da soma dos quadrados (converta ##x^2## em potências fatoriais, use a fórmula de somatória do cálculo discreto, depois converta de volta as potências fatoriais em potências tradicionais).
Mas isso dá muito trabalho. Ao invés disso, note que as fórmulas acima tem uma consequência interessante: com elas é possível ver que a somatória de um polinômio de grau ##n## sempre vai ser um polinômio de grau ##n+1##, e em especial a somatória de ##x^2## vai ser um polinômio de grau 3, a gente só não sabe qual polinômio ainda. Mas aí temos outro truque nas mangas!
Certo, eu não sei qual é o polinômio de grau 3 que resolve a somatória. Vamos então escrever esse polinômio na forma ##P(n)=an^3+bn^2+cn+d##. Apesar de não conhecermos o polinômio, é fácil descobrir os pontos por onde ele passa, basta calcular a somatória!
Para valores pequenos de ##n##, podemos tabelar ##P(0)=0##, ##P(1)=1##, ##P(2)=1+4=5##, ##P(3)=1+4+9=14##, agora podemos achar os coeficientes usando álgebra linear:
$$\left[\begin{array}{c}0\\1\\5\\14\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}0^3&0^2&0^1&1\\1^3&1^2&1^1&1\\2^3&2^2&2^1&1\\3^3&3^2&3^1&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right]$$
Novamente, dá muito trabalho. Ao invés disso, notamos que um polinômio de grau ##n## fica completamente determinado por ##n+1## pontos, e agora podemos finalmente entender a demonstração inicial!
Olhe novamente para o que queremos demonstrar:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
De um lado, temos uma somatória de polinômios de grau 2, que sabemos que é um polinômio de grau 3. Do outro lado, temos um polinômio cujo grau também é 3. Para provar que esses dois polinômios são iguais, é suficiente testar os dois polinômios em quatro pontos. Escolhemos os mais fáceis que são ##n=0##, ##n=1##, ##n=2##, ##n=3##, como a fórmula funciona para esses quatro valores, então funciona para todos os valores, QED.
Quando eu presenteei o artigo com essa demonstração para o Knuth, em segundos após a leitura ele comentou: "Você podia ter usado -1 aqui!".
É verdade! Essa demonstração é tão curta que dá para fazer de cabeça, mas as contas para ##n=3## ficam meio chatinhas. Ao invés disso, você pode usar -1 no lugar de 3, e aí fica bem mais fácil: do lado esquerdo a soma é vazia e dá 0, do lado direito o termo ##(n+1)## zera, logo o resultado dá zero também. Você precisa expandir o domínio da fórmula, de ##n\ge 0## para ##n\ge -1##, o que significa que a fórmula provada com -1 é até melhor que a fórmula provada com 0!
Tradicionalmente, o Knuth oferece $0x1 hexadólar para quem acha um erro em um artigo dele, e $0x0.20 para sugestões. Pela simplificação que ele sugeriu, eu achei pertinente oferecer um cheque também!
Aqui o detalhe do cheque. O Knuth emite cheques pelo banco fictício de San Serriffe (eu tenho $0x5.80 lá atualmente). Os meus cheques eu resolvi emitir pelo Banco de Dados:
O Knuth adorou o cheque! Ele ficou impressionado em como eu consegui fazer tão rápido um cheque que parece mesmo um cheque, mas o segredo é simples: quem fez fez a arte foi a Ila Fox, eu só imprimi no hotel onde estava, usando papel reciclado.
Sem dúvida foi a melhor festa de aniversário que já participei! O Knuth já tinha feito uma festa dessas quando completou 64 anos, e para manter a simetria ele disse que vai fazer outra quando completar 96 anos. Eu certamente estarei lá mais uma vez :)
Eu também fiz minha contribuição, presenteei o Knuth com vários artigos contendo idéias para futuras revisões dos livros dele. Mas em um dos artigos aconteceu uma coisa engraçada: o Knuth notou que uma das minhas contas podia ser simplificada, e como agradecimento pela sugestão eu tive a oportunidade de inverter expectativas, e dar um cheque para o Knuth :D
A Soma dos Quadrados
O artigo em questão era uma sugestão para o Concrete Mathematics, que é o meu livro de matemática predileto. Sou fã desse livro desde os 17 anos, quando o usava como referência para estudar para a Olimpíada de Matemática.
Quem já leu sabe que o livro contém mais de dez demonstrações diferentes da fórmula para a soma dos quadrados. Para ##n\ge 0##, a fórmula é:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
As demonstrações vão desde as mais simples (usando indução finita), até as mais complexas (usando a fórmula de Euler-MacLaurin). Porém, uns anos atrás, eu bolei uma demonstração nova que é provavelmente a mais curta demonstração de todas! Ela está na caixa azul abaixo:
Testando valores pequenos, notamos que a fórmula é verdadeira para ##n=0##, ##n=1##, ##n=2##, ##n=3##. Logo, é verdadeira para qualquer ##n##.
Sim, eu sei o que você está pensando: "Ricbit, você tá doido? Só porque funciona para alguns números não quer dizer que funciona para todos os números!".
A preocupação é válida: o que mais tem na matemática são fórmulas que funcionam para números pequenos mas falham para números grandes. Um exemplo famoso é o polinômio sortudo de Euler, ##k^2-k+41##, que produz apenas números primos para ##k=1##, ##k=2##, ##k=3##, etc., mas falha lá na frente quando ##k=41##.
Porém, nesse caso, testar números pequenos é suficiente para demonstrar a fórmula! Para entender o motivo precisamos de dois fatos sobre cálculo e polinômios.
O Cálculo Discreto
Quem já estudou cálculo com certeza sabe algumas integrais de cabeça. Por exemplo, a integral do monômio:
$$\int x^n\;dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$
O que você talvez não saiba é que o cálculo que a gente aprende nas faculdades de exatas é só um tipo de cálculo: o Cálculo Contínuo. Existem outros tipos, como o Cálculo Discreto, que lida com somatórias ao invés de integrais. Esse cálculo possui várias fórmulas análogas ao cálculo mais comum. Em especial, ele tem uma fórmula análoga à integral do monômio:
$$\sum x^{\underline{n}}\;\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}$$
Nesse fórmula o monômio não usa a potência simples, ele usa a potência fatorial, que é definida da seguinte maneira:
$$x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)$$
É como se fosse um fatorial, mas ao invés de ir até o fim, você pega só os ##n## primeiros termos. (Para pronunciar ##x^{\underline n}##, você fala "x elevado a n caindo").
Para converter uma potência fatorial em uma potência normal, você pode abrir a definição e multiplicar todos os termos, mas isso dá trabalho. É mais fácil ter à mão uma tabela com os números de Stirling (que vêm em dois tipos, o primeiro tipo ##{n\brack k}##, e o segundo tipo ##{n\brace k}##). Esses números são fáceis de calcular porque eles obedecem uma regra similar ao triângulo de Pascal. Tendo a tabela, as fórmulas abaixo fazem a conversão:
$$\begin{align*}
x^{\underline{n}}&=\sum_k{n\brack k}(-1)^{n-k}x^k\\
x^{n}&=\sum_k{n\brace k}x^{\underline{k}}\end{align*}$$
Usando as fórmulas acima e alguma paciência, você consegue demonstrar a fórmula da soma dos quadrados (converta ##x^2## em potências fatoriais, use a fórmula de somatória do cálculo discreto, depois converta de volta as potências fatoriais em potências tradicionais).
Mas isso dá muito trabalho. Ao invés disso, note que as fórmulas acima tem uma consequência interessante: com elas é possível ver que a somatória de um polinômio de grau ##n## sempre vai ser um polinômio de grau ##n+1##, e em especial a somatória de ##x^2## vai ser um polinômio de grau 3, a gente só não sabe qual polinômio ainda. Mas aí temos outro truque nas mangas!
Interpolação de polinômios
Certo, eu não sei qual é o polinômio de grau 3 que resolve a somatória. Vamos então escrever esse polinômio na forma ##P(n)=an^3+bn^2+cn+d##. Apesar de não conhecermos o polinômio, é fácil descobrir os pontos por onde ele passa, basta calcular a somatória!
Para valores pequenos de ##n##, podemos tabelar ##P(0)=0##, ##P(1)=1##, ##P(2)=1+4=5##, ##P(3)=1+4+9=14##, agora podemos achar os coeficientes usando álgebra linear:
$$\left[\begin{array}{c}0\\1\\5\\14\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cccc}0^3&0^2&0^1&1\\1^3&1^2&1^1&1\\2^3&2^2&2^1&1\\3^3&3^2&3^1&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right]$$
Novamente, dá muito trabalho. Ao invés disso, notamos que um polinômio de grau ##n## fica completamente determinado por ##n+1## pontos, e agora podemos finalmente entender a demonstração inicial!
Olhe novamente para o que queremos demonstrar:
$$\sum_{1\le x\le n} x^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
De um lado, temos uma somatória de polinômios de grau 2, que sabemos que é um polinômio de grau 3. Do outro lado, temos um polinômio cujo grau também é 3. Para provar que esses dois polinômios são iguais, é suficiente testar os dois polinômios em quatro pontos. Escolhemos os mais fáceis que são ##n=0##, ##n=1##, ##n=2##, ##n=3##, como a fórmula funciona para esses quatro valores, então funciona para todos os valores, QED.
O cheque do Knuth
Quando eu presenteei o artigo com essa demonstração para o Knuth, em segundos após a leitura ele comentou: "Você podia ter usado -1 aqui!".
É verdade! Essa demonstração é tão curta que dá para fazer de cabeça, mas as contas para ##n=3## ficam meio chatinhas. Ao invés disso, você pode usar -1 no lugar de 3, e aí fica bem mais fácil: do lado esquerdo a soma é vazia e dá 0, do lado direito o termo ##(n+1)## zera, logo o resultado dá zero também. Você precisa expandir o domínio da fórmula, de ##n\ge 0## para ##n\ge -1##, o que significa que a fórmula provada com -1 é até melhor que a fórmula provada com 0!
Tradicionalmente, o Knuth oferece $0x1 hexadólar para quem acha um erro em um artigo dele, e $0x0.20 para sugestões. Pela simplificação que ele sugeriu, eu achei pertinente oferecer um cheque também!
Aqui o detalhe do cheque. O Knuth emite cheques pelo banco fictício de San Serriffe (eu tenho $0x5.80 lá atualmente). Os meus cheques eu resolvi emitir pelo Banco de Dados:
O Knuth adorou o cheque! Ele ficou impressionado em como eu consegui fazer tão rápido um cheque que parece mesmo um cheque, mas o segredo é simples: quem fez fez a arte foi a Ila Fox, eu só imprimi no hotel onde estava, usando papel reciclado.
Sem dúvida foi a melhor festa de aniversário que já participei! O Knuth já tinha feito uma festa dessas quando completou 64 anos, e para manter a simetria ele disse que vai fazer outra quando completar 96 anos. Eu certamente estarei lá mais uma vez :)
